Buemål for vinkler

En radian er — ligesom en grad — en enhed til at måle vinklers størrelse. Den defineres på enhedscirklen, og dens størrelse svarer til centervinklen for en bue, hvis længde er lig med buens radius.

Definition

For at definere buemål får vi brug for enhedscirklen. På denne cirkel afsætter vi to punkter A og B, så den bue, de danner, har længden én, altså så buens længde er lige så stor som cirklens radius. Hvis vi kalder cirklens centrum for O, har vinklen AOB størrelsen netop én radian.

Linjestykket AO er cirklens radius, og det er farvet rødt. Den anden røde streg, buen AB, skal være lige lang. Det vigtige er, at det ikke er afstanden mellem punkterne A og B direkte, vi interesserer os for, altså ikke linjestykket AB, men derimod længden af selve buen.

Hvad er en radian i grader? Cirka 57° 17′ 45′′. Den nøjagtige værdi kan vi ikke udregne. Spørgsmålet er så, hvad sådan en enhed egentlig er god til.

Praktisk regning med radianer

Først besvarer vi spørgsmålet om, hvor mange radianer der svarer til hele cirklen, altså hvor mange radianer der svarer til 360 grader. Vi ved, at buens længde ved en radian netop er cirklens radius. Hvor mange sådanne buer kan vi lægge efter hinanden rundt om hele cirklen? Hele cirklen har længden (altså omkredsen) netop

$$O=2\pi r.$$

Vores bue har længden r, så for at finde ud af, hvor mange gange buen kan være på cirklen, skal vi dividere omkreds / radius, og så får vi:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

Svaret er altså, at vi kan afsætte 2π sådanne buer på hele cirklen. Det er allerede et ret pænt tal. Vi kan derfor skrive, at

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{og}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Ofte udelader vi også selve enheden rad og skriver blot en vinkel med størrelsen for eksempel 2π.

På den følgende figur er der vist tre vinkler på hver én radian, det er vinklerne alfa, beta og gamma. Du kan se, at summen af deres størrelser er næsten 180 grader. Men fordi vi til 180 grader skal bruge π radianer, og π har den omtrentlige værdi 3,1415…, mangler der stadig et lille stykke.

Omregning fra grader til radianer og omvendt

De fleste apparater og programmer, der udregner trigonometriske funktioner, arbejder som standard med radianer. Det er lidt af et problem, hvis du har en vinkel givet i grader. Du har to muligheder: hvis det kan lade sig gøre, stille apparatet om til at regne i grader, eller omregne graderne til radianer.

For eksempel har søgemaskinen Google en indbygget lommeregner, så der kan du for eksempel udregne værdien af funktionen sinus. Som standard arbejder den dog netop med radianer, så når vi prøver at udregne sin(30), får vi ikke det rigtige resultat 0,5, for Google forstod det ikke som tredive grader, men som tredive radianer. Men hvis vi sætter ordet »degrees« (som er engelsk for »grad«) efter tallet, regner den rigtigt: sin(30 degrees). De fleste lommeregnere har så netop to tilstande, den ene regner i grader og den anden i radianer. Det er som regel under en knap med teksten rad og deg. Rad er en forkortelse af radian, deg er netop degree.

Hvis der ikke er nogen vej uden om, må du omregne grader til radianer eller omvendt. Vi begynder med det første: omregning fra grader til radianer. Vi ved allerede, at ligheden 180° = π rad gælder. Vi vil gerne vide, hvilken del af en radian én grad svarer til, så vi dividerer ligningen med 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Nu ved vi, hvor mange radianer én grad er. Hvis vi for eksempel skal udregne tredive grader, ganger vi denne brøk med tredive:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

Tilsvarende for andre grader.

Nu det modsatte tilfælde, omregning fra radianer til grader. Igen tager vi udgangspunkt i ligheden 180° = π rad. Hvis vi har 2π radianer, får vi dobbelt så mange grader, altså 360. Hvis vi omvendt kun har en halv π radianer, får vi det halve antal grader — 90. Først dividerer vi derfor vores værdi i radianer med tallet π, og dermed finder vi ud af, hvilket multiplum af 180 grader vinklen udgør. Derefter ganger vi værdien med 180, og så har vi vinklen i grader. Så hvis vi har en vinkel på 3π/2 radianer, får vi efter divisionen:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Dette resultat ganger vi med 180, og så har vi vinklen i grader: 3/2 · 180 = 270. Hvis vi har to radianer, får vi:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

Den grundlæggende sammenhæng mellem værdien i radianer og i grader viser denne formel (rad er værdien i radianer, deg værdien i grader):

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Historie

Begrebet radian blev sandsynligvis først udviklet af Roger Cotes i 1714. Dengang havde hans enhed endnu ikke navnet »radian«, men de øvrige definitioner og egenskaber var identiske. Betegnelsen »radian« optrådte første gang på tryk den 5. juni 1873 i en artikel af James Thomson. Enheden kunne dengang stadig hedde »radial« eller bare »rad«. (Kilde: Wikipedia)

Tabel over de vigtigste omregningsforhold

Nogle vinkler bruges ret ofte, så den følgende tabel angiver værdierne i grader og deres ækvivalent i radianer:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{deg: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$