A szög ívmértéke

A radián – a fokhoz hasonlóan – a szögek nagyságának mérésére szolgáló mértékegység. Az egységkörön definiáljuk, és nagysága annak a körívnek a középponti szögével egyenlő, amelynek hossza megegyezik a kör sugarával.

Definíció

Az ívmérték definiálásához szükségünk lesz az egységkörre. Erre a körre felmérünk két pontot, A-t és B-t úgy, hogy az általuk meghatározott ív hossza egy legyen, vagyis hogy az ív hossza ugyanakkora legyen, mint ennek a körnek a sugara. Ha a kör középpontját O pontnak nevezzük, akkor az AOB szög nagysága pontosan egy radián.

Az AO szakasz a kör sugara, pirossal van kiszínezve. Ugyanilyen hosszúnak kell lennie a másik piros vonalnak, az AB ívnek. Fontos, hogy nem a B és az A pont egyenes távolsága érdekel minket, vagyis nem az AB szakasz, hanem tényleg ennek az ívnek a hossza.

Mekkora a radián értéke fokokban? Körülbelül 57° 17′ 45′′. A pontos értéket nem tudjuk kiszámítani. Ekkor felmerül a kérdés, mire jó egy ilyen mértékegység.

Gyakorlati számolás radiánokkal

Először megválaszoljuk a kérdést, hogy hány radiánnak felel meg a teljes kör, vagyis hány radiánnak felel meg a 360 fok. Tudjuk, hogy a radiánnál az ív hossza éppen a kör sugara. Hány ilyen ívet tudunk a teljes körre felrakni? A teljes kör hossza (vagyis kerülete) pontosan

$$K=2r\pi .$$

Az ívünk hossza r, tehát hogy megtudjuk, hányszor fér rá az ív a körre, el kell végeznünk a kerület / sugár osztást, így kapjuk:

$$\frac{2r\pi }{r}=2\pi .$$

A válasz tehát az, hogy a teljes körre 2π ilyen ívet tudunk felmérni. Ez már egész szép szám. Felírhatjuk tehát, hogy

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{és}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Gyakran magát a rad mértékegységet is elhagyjuk, és egyszerűen csak például 2π nagyságú szöget írunk.

A következő ábrán három egyradiános szög látható, ezek az alfa, a béta és a gamma szög. Láthatod, hogy a nagyságuk összege majdnem 180 fok. Mivel azonban a 180 fokhoz π radiánra lenne szükségünk, és π közelítő értéke 3,1415…, még hiányzik egy kis darab.

Átváltás fokról radiánra és vissza

A legtöbb szögfüggvényeket számoló készülék és program alapértelmezés szerint radiánban dolgozik. Ez egy kicsit gond, ha a szög fokban van megadva. Két lehetőséged van: ha lehet, átkapcsolod a készüléket, hogy fokban számoljon, vagy átváltod a fokokat radiánra.

Például a Google internetes keresőbe be van építve egy számológép, így ott kiszámíthatod például a szinusz függvény értékét. Alapértelmezés szerint azonban éppen radiánban dolgozik, ezért ha megpróbáljuk kiszámítani a sin(30) értékét, nem a helyes 0,5 eredményt kapjuk, mert a Google ezt nem harminc foknak, hanem harminc radiánnak értette. Ha azonban a szám után odaírjuk a „degrees” szót (angolul ez „fok”), akkor már helyesen számol: sin(30 degrees). A legtöbb számológépnek két üzemmódja van, az egyik fokban, a másik radiánban számol. Ez általában egy rad és deg feliratú gomb alatt található. A rad a radián rövidítése, a deg pedig az angol degree, vagyis fok.

Ha nincs más megoldás, a fokokat radiánra kell váltanod, vagy fordítva. Kezdjük az elsővel: átváltás fokról radiánra. Már tudjuk, hogy fennáll a 180° = π rad egyenlőség. Szeretnénk tudni, a radián mekkora részének felel meg egy fok, ezért az egyenletet elosztjuk 180-nal:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Már tudjuk, hány radián egy fok. Ha például harminc fokot kell kiszámolnunk, ezt a törtet megszorozzuk harminccal:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

Hasonlóan számolunk a többi fokkal is.

Most a fordított eset, az átváltás radiánról fokra. Ismét a 180° = π rad egyenlőségből indulunk ki. Ha 2π radiánunk van, kétszer annyi fokot kapunk, vagyis 360-at. Ha viszont csak fél π radiánunk van, a fokok számának felét kapjuk – 90-et. Először tehát a radiánban megadott értéket elosztjuk π-vel, így megtudjuk, hogy a szög a 180 fok hányszorosa. Ezután az értéket megszorozzuk 180-nal, és megvan a szög fokban. Ha tehát egy 3π/2 radián nagyságú szögünk van, az osztás után ezt kapjuk:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Ezt az eredményt megszorozzuk 180-nal, és megvan a szög fokban: 3/2 · 180 = 270. Ha két radiánunk van, akkor ezt kapjuk:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

A radiánban és a fokban megadott érték közötti alapvető összefüggést ez a képlet szemlélteti (rad a radiánban megadott érték, deg a fokban megadott érték):

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Történet

A radián fogalmát valószínűleg Roger Cotes alkotta meg elsőként 1714-ben. Akkor még nem „radián” volt a mértékegység neve, a többi definíció és tulajdonság azonban megegyezett. A „radián” kifejezés először 1873. június 5-én jelent meg papíron James Thomson egyik cikkében. A mértékegység még lehetett volna „radial” vagy csak „rad”. (Forrás: wiki)

Az alapvető átváltási összefüggések táblázata

Néhány szöget meglehetősen gyakran használunk, ezért a következő táblázat megadja az értékeket fokban és ezek megfelelőit radiánban:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{fok: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$