Μέτρηση γωνιών σε ακτίνια

Το ακτίνιο είναι – όπως και η μοίρα – μονάδα για τη μέτρηση του μέτρου των γωνιών. Ορίζεται στον τριγωνομετρικό κύκλο και το μέγεθός του αντιστοιχεί στην επίκεντρη γωνία του τόξου, το μήκος του οποίου είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου.

Ορισμός

Για να ορίσουμε το μέτρο σε ακτίνια, θα χρειαστούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο. Πάνω σε αυτόν τον κύκλο τοποθετούμε δύο σημεία A και B έτσι ώστε το τόξο που σχηματίζουν να έχει μήκος ένα, δηλαδή το μήκος του τόξου να είναι ίσο με την ακτίνα αυτού του κύκλου. Αν συμβολίσουμε το κέντρο του κύκλου με το σημείο O, τότε η γωνία AOB έχει μέτρο ακριβώς ένα ακτίνιο.

Το ευθύγραμμο τμήμα AO παριστάνει την ακτίνα του κύκλου, είναι χρωματισμένο κόκκινο. Το ίδιο μήκος πρέπει να έχει και η δεύτερη κόκκινη γραμμή, το τόξο AB. Το σημαντικό είναι ότι δεν μας ενδιαφέρει η απευθείας απόσταση των σημείων A και B, δηλαδή δεν μας ενδιαφέρει το ευθύγραμμο τμήμα AB, αλλά πραγματικά μας ενδιαφέρει το μήκος αυτού του τόξου.

Ποια είναι η τιμή του ακτινίου σε μοίρες; Περίπου 57° 17′ 45′′. Την ακριβή τιμή δεν μπορούμε να την υπολογίσουμε. Το ερώτημα τότε είναι σε τι χρησιμεύει μια τέτοια μονάδα.

Πρακτικός υπολογισμός με ακτίνια

Πρώτα θα απαντήσουμε στο ερώτημα πόσα ακτίνια αντιστοιχούν σε ολόκληρο τον κύκλο, δηλαδή πόσα ακτίνια αντιστοιχούν σε 360 μοίρες. Ξέρουμε ότι το μήκος του τόξου στο ακτίνιο είναι ακριβώς η ακτίνα του κύκλου. Πόσα τέτοια τόξα μπορούμε να τοποθετήσουμε σε ολόκληρο τον κύκλο; Ολόκληρος ο κύκλος έχει μήκος (δηλαδή περιφέρεια) ακριβώς

$$L=2\pi r.$$

Το τόξο μας έχει μήκος r, άρα για να βρούμε πόσες φορές χωράει το τόξο στον κύκλο, πρέπει να διαιρέσουμε μήκος κύκλου / ακτίνα, οπότε παίρνουμε:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

Η απάντηση λοιπόν είναι ότι σε ολόκληρο τον κύκλο μπορούμε να τοποθετήσουμε 2π τέτοια τόξα. Αυτό είναι ήδη αρκετά ωραίος αριθμός. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε ότι

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{και}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Συχνά την ίδια τη μονάδα rad την παραλείπουμε και γράφουμε απλώς, για παράδειγμα, γωνία μέτρου 2π.

Στο παρακάτω σχήμα εμφανίζονται τρεις γωνίες μέτρου ενός ακτινίου, είναι οι γωνίες άλφα, βήτα και γάμμα. Βλέπεις ότι το άθροισμα των μέτρων τους είναι σχεδόν 180 μοίρες. Επειδή όμως για 180 μοίρες θα χρειαζόμασταν π ακτίνια και το π έχει προσεγγιστική τιμή 3,1415…, μας λείπει ακόμη λίγο.

Μετατροπή από μοίρες σε ακτίνια και αντίστροφα

Οι περισσότερες συσκευές και προγράμματα που υπολογίζουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις δουλεύουν από προεπιλογή με ακτίνια. Αυτό είναι λίγο πρόβλημα, αν έχεις τη γωνία δοσμένη σε μοίρες. Έχεις δύο δυνατότητες: αν γίνεται, να αλλάξεις τη συσκευή ώστε να υπολογίζει σε μοίρες ή να μετατρέψεις τις μοίρες σε ακτίνια.

Για παράδειγμα, η μηχανή αναζήτησης Google έχει ενσωματωμένο υπολογιστή, οπότε εκεί μπορείς να υπολογίσεις, για παράδειγμα, την τιμή της συνάρτησης ημίτονο. Από προεπιλογή όμως δουλεύει με ακτίνια, οπότε όταν προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε sin(30), δεν παίρνουμε το σωστό αποτέλεσμα 0,5, γιατί το Google δεν το κατάλαβε ως τριάντα μοίρες, αλλά ως τριάντα ακτίνια. Αν όμως μετά τον αριθμό προσθέσουμε τη λέξη «degrees» (που στα αγγλικά σημαίνει «μοίρες»), τότε μας το υπολογίζει σωστά: sin(30 degrees). Οι περισσότεροι υπολογιστές τσέπης έχουν δύο λειτουργίες, η μία δουλεύει σε μοίρες και η άλλη σε ακτίνια. Συνήθως αλλάζουν με κάποιο πλήκτρο με την ένδειξη rad και deg. Το rad είναι συντομογραφία του ακτινίου (radian), το deg του degree.

Αν δεν γίνεται αλλιώς, πρέπει να μετατρέψεις τις μοίρες σε ακτίνια ή αντίστροφα. Θα ξεκινήσουμε με το πρώτο: μετατροπή από μοίρες σε ακτίνια. Ήδη ξέρουμε ότι ισχύει η ισότητα 180° = π rad. Θα θέλαμε να ξέρουμε ποιο μέρος του ακτινίου αντιστοιχεί σε μία μοίρα, οπότε διαιρούμε την εξίσωση με το 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Ήδη ξέρουμε πόσα ακτίνια είναι μία μοίρα. Αν χρειάζεται να υπολογίσουμε, για παράδειγμα, τριάντα μοίρες, πολλαπλασιάζουμε αυτό το κλάσμα με το τριάντα:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

Ομοίως και για τις άλλες μοίρες.

Τώρα η αντίστροφη περίπτωση, μετατροπή από ακτίνια σε μοίρες. Πάλι ξεκινάμε από την ισότητα 180° = π rad. Αν έχουμε 2π ακτίνια, παίρνουμε διπλάσιες μοίρες, δηλαδή 360. Αν έχουμε αντίθετα μόνο μισό π ακτίνια, παίρνουμε το μισό αριθμό μοιρών – 90. Πρώτα λοιπόν διαιρούμε την τιμή μας σε ακτίνια με τον αριθμό π, με το οποίο βρίσκουμε ποιο πολλαπλάσιο των 180 μοιρών παριστάνει η γωνία. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε την τιμή με το 180 και έχουμε τη γωνία σε μοίρες. Έτσι, αν έχουμε γωνία μέτρου 3π/2 ακτινίων, μετά τη διαίρεση παίρνουμε:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Αυτό το αποτέλεσμα το πολλαπλασιάζουμε με το 180 και έχουμε τη γωνία σε μοίρες: 3/2 · 180 = 270. Αν έχουμε δύο ακτίνια, τότε παίρνουμε:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

Τη βασική σχέση ανάμεσα στην τιμή σε ακτίνια και σε μοίρες την παριστάνει αυτός ο τύπος (rad είναι η τιμή σε ακτίνια, deg η τιμή σε μοίρες):

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Ιστορία

Την έννοια του ακτινίου την επινόησε πρώτος πιθανότατα ο Roger Cotes το 1714. Τότε η μονάδα του δεν είχε ακόμη το όνομα «radian», οι υπόλοιποι ορισμοί και οι ιδιότητες όμως ήταν ίδιοι. Ο όρος «radian» εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο χαρτί στις 5 Ιουνίου 1873 σε άρθρο του James Thomson. Η μονάδα θα μπορούσε ακόμη να λέγεται «radial» ή απλά «rad». (Πηγή: wiki)

Πίνακας βασικών σχέσεων μετατροπής

Ορισμένες γωνίες χρησιμοποιούνται αρκετά συχνά, οπότε ο παρακάτω πίνακας δίνει τις τιμές σε μοίρες και το ισοδύναμό τους σε ακτίνια:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{deg: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$