Tek Taraflı Limit

Genellikle iki taraflı limiti hesaplarız; yani fonksiyon değerlerinin hem soldan hem sağdan hangi noktaya yaklaştığını inceleriz. Ama yalnızca tek taraflı limiti de inceleyebiliriz — yalnızca soldan ya da yalnızca sağdan.

Tek Taraflı Limitler

Elimizde bir f(x) fonksiyonu ve limitini hesaplamak istediğimiz bir x₀ noktası olsun. Normalde şöyle yazardık:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Ama x₀ noktasına yalnızca bir taraftan yaklaşabiliriz — ya soldan ya da sağdan. Bu, üst indisteki eksi ve artı işaretleriyle yazılır. Yani “x’in yediye soldan yaklaşması” ile “x’in ona sağdan yaklaşması” şöyle yazılır:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Tanımı kolayca değiştiririz: yığılma noktasının tüm komşuluğu yerine yalnızca sol ya da sağ komşuluğunu alırız. Sağdan limitin değiştirilmiş tanımı:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \text{tanım kümesi})((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Gerektirmede yalnızca x₀’dan büyük x değerlerini aldığımıza dikkat et — yani sayı doğrusunda x₀ sayısının sağında kalan x değerlerini alıyoruz. Soldan limitin tanımı:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \text{tanım kümesi})((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Sol ve sağ limit genel olarak eşit olmak zorunda değildir. Birkaç durum olabilir: fonksiyonun noktada hem soldan hem sağdan limiti vardır, bu limitlerden yalnızca biri vardır ya da en sonunda ikisi de olmayabilir.

Öte yandan f fonksiyonunun x₀ noktasında limiti olması için gerek ve yeter koşul, bu noktada hem soldan hem sağdan limitinin olması ve iki limitin eşit olmasıdır. İki tek taraflı limit de varsa ama farklıysa, fonksiyonun o noktada limiti yoktur — yalnızca tek taraflı limitleri vardır.

Hepsini basit bir f(x) = 1/x fonksiyonu üzerinde göstermeyi deneyelim. Grafik aşağıda:

Basit durum, x’in bire yaklaşırkenki limitidir. 1 noktasında fonksiyon süreklidir, tanımlıdır ve kısacası güzel bir örnektir. Fonksiyon değeri hem soldan hem sağdan bire yaklaşır, dolayısıyla limit de bir olur. Peki x sıfıra yaklaşırken limiti hesaplamak istersek ne olur?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Bu artık ilginç bir örnek. Fonksiyonun tanım kümesinde olmayan bir noktada limit aramaya çalıştığımıza dikkat et. Fonksiyonda sıfır değerini yerine koyarsak geçersiz bir ifade elde ederiz (sıfıra bölünmez!). Bu bizi hiç rahatsız etmez, çünkü tanımda yığılma noktasından söz edilir ve sıfır, tanım kümesinin yığılma noktasıdır; çünkü onun her komşuluğunda fonksiyonun tanım kümesine ait bir eleman bulunur.

Grafiğe bakıp sıfıra sol taraftan yaklaşmaya başlarsak, fonksiyon değerinin sürekli azaldığını görürüz. Örnekler:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Sıfıra “çok” yaklaşan negatif bir sayı alırsak, örneğin −0,000 001, fonksiyon değeri olarak “çok” küçük bir sayı elde ederiz: −1.000.000.

Sıfıra sol taraftan ne kadar yaklaşırsak, fonksiyon değeri o kadar eksi sonsuza yaklaşır. Buna karşılık sıfıra sağ taraftan yaklaşırsak fonksiyon değerinin arttığını görürüz. Sıfıra sağdan ne kadar yaklaşırsak, fonksiyon değeri o kadar sonsuza yaklaşır. Bunu nasıl çözeriz? Basitçe, fonksiyonun sıfır noktasında limiti yoktur deriz. Yalnızca iki farklı tek taraflı limiti vardır:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$