Egyoldali határérték

Általában kétoldali határértéket számolunk, vagyis azt vizsgáljuk, melyik ponthoz közelítenek a függvényértékek balról is és jobbról is. Vizsgálhatjuk azonban csak az egyoldali határértéket is – csak balról vagy csak jobbról.

Egyoldali határértékek

Legyen adott valamilyen f(x) függvény és egy x₀ pont, amelyben a határértéket ki akarjuk számolni. Általában ezt írnánk:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Az x₀ ponthoz azonban közeledhetünk csak az egyik oldalról – vagy balról, vagy jobbról. Ezt a felső indexben álló mínusz és plusz jellel jelöljük. Az „x a héthez tart balról” és az „x a tízhez tart jobbról” tehát így írható fel:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

A definíciót egyszerűen úgy módosítjuk, hogy a torlódási pont teljes környezete helyett csak a bal vagy a jobb oldali környezetét vesszük. A jobb oldali határérték módosított definíciója:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Figyeld meg, hogy az implikációban csak azokat az x értékeket vesszük, amelyek nagyobbak x₀-nál – tehát azokat az x értékeket, amelyek a számegyenesen az x₀ számtól jobbra vannak. A bal oldali határérték definíciója:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

A bal és a jobb oldali határérték általában nem egyenlő. Többféle eset fordulhat elő: a függvénynek a pontban van bal és jobb oldali határértéke is, csak az egyik van meg, és végül előfordulhat, hogy egyik sincs meg.

Ugyanakkor igaz, hogy az f függvénynek az x₀ pontban akkor és csak akkor van határértéke, ha ebben a pontban van bal és jobb oldali határértéke is, és a két határérték egyenlő. Ha mindkét egyoldali határértéke megvan, de ezek különbözők, akkor a függvénynek az adott pontban nincs határértéke – csak egyoldali határértékei vannak.

Próbáljuk meg mindezt bemutatni az f(x) = 1/x egyszerű függvényen. A grafikon következik:

Triviális eset a határérték, ha x az egyhez tart. Az 1 pontban a függvény folytonos, értelmezve van, és összességében szép példa. Balról is, jobbról is a függvényérték az egyhez közelít, ezért a határérték is egy. De mi van, ha azt akarjuk kiszámolni, mekkora a határérték, ha x a nullához tart?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Ez már érdekes példa. Figyeld meg, hogy olyan pontban próbálunk határértéket keresni, amely nincs a függvény értelmezési tartományában. Ha behelyettesítjük a függvénybe a nulla értéket, érvénytelen kifejezést kapunk (nullával nem osztunk!). Ez egyáltalán nem zavar minket, mert a definíció torlódási pontról beszél, és a nulla torlódási pontja az értelmezési tartománynak, mert minden környezetében találunk elemet a függvény értelmezési tartományából.

Ha a grafikonra nézünk, és bal oldalról kezdünk közeledni a nullához, látjuk, hogy a függvényérték folyamatosan csökken. Példák:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Ha vennénk egy negatív számot, amely „nagyon” közel van a nullához, mondjuk −0,000 001, függvényértékként „nagyon” kicsi számot kapnánk: −1 000 000.

Minél közelebb vagyunk a nullához a bal oldalról, annál inkább a mínusz végtelenhez közelít a függvényérték. Ezzel szemben látjuk, hogy ha a nullához jobb oldalról közeledünk, akkor a függvényérték nő. Minél jobban közeledünk a nullához jobbról, annál inkább a végtelenhez közelít a függvényérték. Hogyan oldjuk meg ezt? Egyszerűen azt mondjuk, hogy a függvénynek a nulla pontban nincs határértéke. Csak két különböző egyoldali határértéke van:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$