Límite lateral

Normalmente calculamos el límite bilateral, es decir, averiguamos a qué valor se acercan los valores de la función tanto por la izquierda como por la derecha. Pero también podemos averiguar solo el límite lateral: únicamente por la izquierda o únicamente por la derecha.

Límites laterales

Tengamos una función f(x) y un punto x₀ en el que queremos calcular el límite. Normalmente escribiríamos:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Pero a x₀ podemos acercarnos solo desde un lado: o por la izquierda o por la derecha. Se escribe con los signos menos y más en el superíndice. Así, «x tiende a siete por la izquierda» y «x tiende a diez por la derecha» se escribirían de esta forma:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

La definición se modifica de forma sencilla: en lugar de todo el entorno del punto de acumulación tomaremos solo su entorno izquierdo o derecho. La definición modificada del límite por la derecha:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Fíjate en que en la implicación tomamos solo los x mayores que x₀, es decir, los x que están en la recta numérica a la derecha del número x₀. La definición del límite por la izquierda:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Los límites por la izquierda y por la derecha, en general, no tienen por qué ser iguales. Pueden darse varios casos: la función tiene en el punto límite por la izquierda y por la derecha; la función tiene solo uno de estos límites; y, por último, puede que no tenga ninguno de los dos.

Además, se cumple que la función f tiene límite en el punto x₀ si y solo si tiene en este punto límite por la izquierda y por la derecha y ambos límites son iguales. Si tiene ambos límites laterales pero son distintos, entonces la función no tiene límite en ese punto: solo tiene límites laterales.

Ilustremos todo esto con la sencilla función f(x) = 1/x. La gráfica a continuación:

Un caso trivial es el límite cuando x tiende a uno. En el punto uno la función es continua, está definida y, en general, es un ejemplo bonito. Tanto por la izquierda como por la derecha el valor de la función se acerca a uno, así que el límite también será uno. Pero ¿qué ocurre si queremos calcular el límite cuando x tiende a cero?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Este ya es un ejemplo interesante. Fíjate en que intentamos buscar el límite en un punto que no pertenece al dominio de la función. Si sustituimos en la función el valor cero, obtenemos una expresión sin sentido (¡no se puede dividir entre cero!). Eso no nos molesta en absoluto, porque en la definición se habla del punto de acumulación, y cero es un punto de acumulación del dominio, ya que en cada entorno suyo encontramos algún elemento del dominio de la función.

Si miramos la gráfica y empezamos a acercarnos a cero desde el lado izquierdo, vemos que el valor de la función disminuye continuamente. Ejemplos:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Si tomáramos algún número negativo que se acerque «mucho» a cero, digamos −0,000 001, obtendríamos como valor de la función un número «muy» pequeño: −1.000.000.

Cuanto más cerca estemos de cero por el lado izquierdo, más se acercará el valor de la función a menos infinito. En cambio, vemos que si nos acercamos a cero por el lado derecho, el valor de la función crece. Cuanto más nos acercamos a cero por la derecha, más se acerca el valor de la función a infinito. ¿Cómo lo resolvemos? Sencillamente, decimos que la función no tiene límite en el punto cero. Solo tiene dos límites laterales distintos:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$