Limite à gauche et limite à droite

D’ordinaire, on calcule la limite en un point, c’est-à-dire que l’on cherche vers quelle valeur se rapprochent les images à la fois par la gauche et par la droite. Mais on peut aussi chercher seulement la limite à gauche ou seulement la limite à droite.

Limites à gauche et à droite

Prenons une fonction f(x) et un point x₀ où l’on veut calculer la limite. Normalement, on écrirait :

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Mais on peut aussi s’approcher du point x₀ d’un seul côté – soit par la gauche, soit par la droite. On le note avec les signes moins et plus en exposant. Ainsi, « x tend vers 7 par la gauche » et « x tend vers 10 par la droite » s’écrivent de la façon suivante :

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

On modifie simplement la définition : au lieu du voisinage entier du point d’accumulation, on ne prend que son voisinage à gauche ou à droite. Voici la définition modifiée de la limite à droite :

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in {\mathcal{D}}_f)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Remarque que, dans l’implication, on ne prend que les x qui sont supérieurs à x₀ – on prend donc les x qui sont sur la droite numérique à droite du nombre x₀. Définition de la limite à gauche :

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in {\mathcal{D}}_f)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

La limite à gauche et la limite à droite ne sont pas forcément égales. Plusieurs cas peuvent se présenter : la fonction a en un point une limite à gauche et une limite à droite, la fonction n’a que l’une de ces limites, ou encore elle peut n’en avoir aucune.

De plus, la fonction f a une limite en x₀ si et seulement si elle a en ce point une limite à gauche et une limite à droite, et que ces deux limites sont égales. Si elle a les deux limites, mais que celles-ci sont différentes, alors la fonction n’a pas de limite en ce point – elle n’a que des limites à gauche et à droite.

Illustrons tout cela sur la fonction simple f(x) = 1/x. Voici sa courbe :

Le cas trivial est la limite quand x tend vers un. En un, la fonction est continue, elle est définie, et c’est vraiment un bel exemple. Par la gauche comme par la droite, l’image se rapproche de un, donc la limite sera aussi égale à un. Mais que se passe-t-il si l’on veut calculer la limite quand x tend vers zéro ?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Cet exemple est déjà intéressant. Remarque que l’on essaie de chercher la limite en un point qui n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction. Si l’on remplace x par zéro dans la fonction, on obtient une expression qui n’a pas de sens (on ne divise pas par zéro !). Cela ne gêne pas du tout, car la définition parle de point d’accumulation, et zéro est un point d’accumulation de l’ensemble de définition, puisque dans chacun de ses voisinages on trouve un élément de l’ensemble de définition de la fonction.

Quand on regarde la courbe et que l’on s’approche de zéro par la gauche, on voit que l’image diminue sans cesse. Exemples :

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Si l’on prenait un nombre strictement négatif « très » proche de zéro, par exemple −0,000 001, on obtiendrait pour image un nombre « très » petit : −1 000 000.

Plus on est proche de zéro par la gauche, plus l’image se rapproche de moins l’infini. À l’inverse, on voit que si l’on s’approche de zéro par la droite, l’image augmente. Plus on s’approche de zéro par la droite, plus l’image se rapproche de l’infini. Comment résoudre cela ? On dit simplement que la fonction n’a pas de limite en zéro. Elle n’a que deux limites à gauche et à droite différentes :

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$