Ensidig grenseverdi

Vanligvis regner vi ut den tosidige grenseverdien, altså vi finner ut hvilken verdi funksjonsverdiene nærmer seg både fra venstre og fra høyre. Men vi kan også finne bare den ensidige grenseverdien, altså bare fra venstre eller bare fra høyre.

Ensidige grenseverdier

La oss si at vi har en funksjon f(x) og et punkt x₀ der vi vil regne ut grenseverdien. Normalt ville vi skrevet:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Men vi kan nærme oss punktet x₀ bare fra én side, enten fra venstre eller fra høyre. Det skrives med tegnene minus og pluss i hevet skrift. «x nærmer seg sju fra venstre» og «x nærmer seg ti fra høyre» skriver vi altså slik:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Definisjonen endrer vi enkelt ved at vi i stedet for hele omegnen til opphopningspunktet bare tar den venstre eller høyre omegnen. Den endrede definisjonen av grenseverdi fra høyre:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Legg merke til at vi i implikasjonen bare tar de x som er større enn x₀. Vi tar altså de x som ligger til høyre for tallet x₀ på tallinjen. Definisjonen av grenseverdi fra venstre:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Venstre og høyre grenseverdi trenger ikke å være like. Det kan skje flere ting: funksjonen har grenseverdi både fra venstre og fra høyre i punktet, funksjonen har bare én av dem, og til slutt kan den mangle begge.

Det gjelder at funksjonen f har en grenseverdi i punktet x₀ hvis og bare hvis den har grenseverdi både fra venstre og fra høyre i dette punktet og de to grenseverdiene er like. Hvis den har begge de ensidige grenseverdiene, men de er forskjellige, har ikke funksjonen noen grenseverdi i punktet. Den har bare ensidige grenseverdier.

Vi prøver å vise alt dette på den enkle funksjonen f(x) = 1/x. Grafen kommer her:

Et trivielt tilfelle er grenseverdien når x nærmer seg én. I punktet én er funksjonen kontinuerlig og definert, og det er et fint eksempel. Både fra venstre og fra høyre nærmer funksjonsverdien seg én, så grenseverdien blir også én. Men hva hvis vi vil regne ut grenseverdien når x nærmer seg null?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Dette er et mer interessant eksempel. Legg merke til at vi prøver å finne grenseverdien i et punkt som ikke ligger i definisjonsmengden til funksjonen. Hvis vi setter inn verdien null i funksjonen, får vi et ugyldig uttrykk (du kan ikke dele på null!). Det gjør oss ingenting, for definisjonen snakker om opphopningspunkt, og null er et opphopningspunkt for definisjonsmengden, siden vi i hver omegn av det finner et element i definisjonsmengden til funksjonen.

Når vi ser på grafen og begynner å nærme oss null fra venstre side, ser vi at funksjonsverdien hele tiden minker. Eksempler:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Hvis vi tok et negativt tall som ligger «veldig» nær null, for eksempel −0,000 001, ville vi fått en «veldig» liten funksjonsverdi: −1 000 000.

Jo nærmere null vi kommer fra venstre side, desto nærmere minus uendelig kommer funksjonsverdien. Vi ser derimot at hvis vi nærmer oss null fra høyre side, vokser funksjonsverdien. Jo nærmere null vi kommer fra høyre, desto nærmere uendelig kommer funksjonsverdien. Hvordan løser vi det? Vi sier rett og slett at funksjonen ikke har noen grenseverdi i punktet null. Den har bare to ulike ensidige grenseverdier:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$