Πλευρικό όριο

Συνήθως υπολογίζουμε το αμφίπλευρο όριο, δηλαδή βρίσκουμε σε ποιο σημείο πλησιάζουν οι τιμές της συνάρτησης και από αριστερά και από δεξιά. Μπορούμε όμως να βρίσκουμε μόνο το πλευρικό όριο – μόνο από αριστερά ή μόνο από δεξιά.

Πλευρικά όρια

Έστω μια συνάρτηση f(x) και ένα σημείο x₀ στο οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο. Κανονικά θα γράφαμε:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Το σημείο x₀ όμως μπορούμε να το πλησιάζουμε και μόνο από τη μία πλευρά – είτε από αριστερά είτε από δεξιά. Γράφεται με τα σύμβολα μείον και συν στον πάνω δείκτη. Έτσι το «x που πλησιάζει το εφτά από αριστερά» και το «x που πλησιάζει το δέκα από δεξιά» θα τα γράφαμε ως εξής:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Τον ορισμό τον τροποποιούμε απλά: αντί για ολόκληρη την περιοχή του σημείου συσσώρευσης παίρνουμε μόνο την αριστερή ή τη δεξιά περιοχή του. Ο τροποποιημένος ορισμός του ορίου από δεξιά:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Πρόσεξε ότι στη συνεπαγωγή παίρνουμε μόνο εκείνα τα x που είναι μεγαλύτερα από το x₀ – παίρνουμε δηλαδή τα x που βρίσκονται στον άξονα των πραγματικών αριθμών δεξιά από τον αριθμό x₀. Ο ορισμός του ορίου από αριστερά:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Το αριστερό και το δεξιό όριο γενικά δεν χρειάζεται να είναι ίσα. Μπορούν να προκύψουν διάφορες περιπτώσεις: η συνάρτηση έχει σε ένα σημείο όριο και από αριστερά και από δεξιά, η συνάρτηση έχει μόνο το ένα από αυτά τα όρια και τέλος μπορεί να μην έχει κανένα από αυτά τα όρια.

Ταυτόχρονα ισχύει ότι η συνάρτηση f έχει στο σημείο x₀ όριο αν και μόνο αν έχει σε αυτό το σημείο όριο από αριστερά και από δεξιά και τα δύο όρια είναι ίσα. Αν έχει και τα δύο πλευρικά όρια, αλλά αυτά τα όρια είναι διαφορετικά, τότε η συνάρτηση δεν έχει όριο στο δοσμένο σημείο – έχει μόνο πλευρικά όρια.

Θα τα δείξουμε όλα σε μια απλή συνάρτηση f(x) = 1/x. Ακολουθεί η γραφική παράσταση:

Τετριμμένη περίπτωση είναι το όριο για x που πλησιάζει το ένα. Στο σημείο ένα η συνάρτηση είναι συνεχής, ορίζεται και γενικά είναι ένα όμορφο παράδειγμα. Και από αριστερά και από δεξιά η τιμή της συνάρτησης πλησιάζει το ένα, άρα και το όριο θα είναι ένα. Τι γίνεται όμως αν θελήσουμε να υπολογίσουμε το όριο για x που πλησιάζει το μηδέν;

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Αυτό πια είναι ενδιαφέρον παράδειγμα. Πρόσεξε ότι προσπαθούμε να βρούμε το όριο σε ένα σημείο που δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Αν αντικαταστήσουμε στη συνάρτηση την τιμή μηδέν, παίρνουμε μη έγκυρη παράσταση (δεν διαιρούμε με το μηδέν!). Αυτό δεν μας πειράζει καθόλου, γιατί στον ορισμό γίνεται λόγος για σημείο συσσώρευσης και το μηδέν είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού, γιατί σε κάθε περιοχή του βρίσκουμε κάποιο στοιχείο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης.

Αν κοιτάξουμε τη γραφική παράσταση και αρχίσουμε να πλησιάζουμε το μηδέν από την αριστερή πλευρά, βλέπουμε ότι η τιμή της συνάρτησης μειώνεται διαρκώς. Παραδείγματα:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Αν παίρναμε κάποιον αρνητικό αριθμό που πλησιάζει «πολύ» το μηδέν, ας πούμε −0,000001, θα παίρναμε ως τιμή της συνάρτησης «πολύ» μικρό αριθμό: −1000000.

Όσο πιο κοντά πάμε στο μηδέν από την αριστερή πλευρά, τόσο περισσότερο η τιμή της συνάρτησης πλησιάζει το μείον άπειρο. Αντίθετα βλέπουμε ότι αν πλησιάζουμε το μηδέν από τη δεξιά πλευρά, τότε η τιμή της συνάρτησης αυξάνεται. Όσο περισσότερο πλησιάζουμε το μηδέν από δεξιά, τόσο περισσότερο η τιμή της συνάρτησης πλησιάζει το άπειρο. Πώς θα το λύσουμε; Απλά λέμε ότι η συνάρτηση δεν έχει όριο στο σημείο μηδέν. Έχει μόνο δύο διαφορετικά πλευρικά όρια:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$