Toispuoleinen raja-arvo

Yleensä lasketaan kaksipuolinen raja-arvo, eli selvitetään, mitä arvoa funktion arvot lähestyvät sekä vasemmalta että oikealta. Voidaan kuitenkin selvittää myös pelkkä toispuoleinen raja-arvo – vain vasemmalta tai vain oikealta.

Toispuoleiset raja-arvot

Olkoon jokin funktio f(x) ja jokin piste x₀, jossa halutaan laskea raja-arvo. Normaalisti kirjoitettaisiin:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Pistettä x₀ voidaan kuitenkin lähestyä vain yhdeltä puolelta – joko vasemmalta tai oikealta. Se merkitään miinus- ja plusmerkeillä yläindeksissä. Siis ”x lähestyy seitsemää vasemmalta” ja ”x lähestyy kymmentä oikealta” kirjoitettaisiin näin:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Määritelmää muokataan helposti: kasautumispisteen koko ympäristön sijasta otetaan vain sen vasemmanpuoleinen tai oikeanpuoleinen ympäristö. Muokattu oikeanpuoleisen raja-arvon määritelmä, kun funktion f määrittelyjoukko on M:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in M)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Huomaa, että implikaatiossa otetaan vain ne x, jotka ovat suurempia kuin x₀ – eli ne x, jotka ovat lukusuoralla luvun x₀ oikealla puolella. Vasemmanpuoleisen raja-arvon määritelmä:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in M)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Vasemmanpuoleinen ja oikeanpuoleinen raja-arvo eivät välttämättä ole yhtä suuret. Tapauksia on useita: funktiolla on pisteessä raja-arvo sekä vasemmalta että oikealta, funktiolla on vain toinen näistä raja-arvoista, tai funktiolla ei ole kumpaakaan.

Samalla pätee, että funktiolla f on pisteessä x₀ raja-arvo täsmälleen silloin, kun sillä on tässä pisteessä sekä vasemmanpuoleinen että oikeanpuoleinen raja-arvo ja molemmat raja-arvot ovat yhtä suuret. Jos funktiolla on molemmat toispuoleiset raja-arvot mutta ne ovat eri suuret, funktiolla ei ole annetussa pisteessä raja-arvoa – sillä on vain toispuoleiset raja-arvot.

Havainnollistetaan kaikki yksinkertaisella funktiolla f(x) = 1/x. Kuvaaja:

Triviaali tapaus on raja-arvo, kun x lähestyy ykköstä. Pisteessä yksi funktio on jatkuva, määritelty ja ylipäätään kaunis esimerkki. Sekä vasemmalta että oikealta funktion arvo lähestyy ykköstä, joten myös raja-arvo on yksi. Mutta entä jos halutaan laskea raja-arvo, kun x lähestyy nollaa?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Tämä on jo mielenkiintoinen esimerkki. Huomaa, että raja-arvoa etsitään pisteessä, joka ei kuulu funktion määrittelyjoukkoon. Jos funktioon sijoitetaan arvo nolla, saadaan kelvoton lauseke (nollalla ei voi jakaa!). Se ei haittaa lainkaan, koska määritelmässä puhutaan kasautumispisteestä, ja nolla on määrittelyjoukon kasautumispiste, koska sen jokaisesta ympäristöstä löytyy jokin funktion määrittelyjoukon alkio.

Kun katsotaan kuvaajaa ja aletaan lähestyä nollaa vasemmalta puolelta, nähdään, että funktion arvo pienenee koko ajan. Esimerkkejä:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Jos otettaisiin jokin negatiivinen luku, joka on ”hyvin” lähellä nollaa, vaikkapa −0,000 001, saataisiin funktion arvoksi ”hyvin” pieni luku: −1 000 000.

Mitä lähemmäs nollaa vasemmalta päästään, sitä lähemmäs miinus ääretöntä funktion arvo menee. Toisaalta nähdään, että jos nollaa lähestytään oikealta, funktion arvo kasvaa. Mitä lähemmäs nollaa oikealta päästään, sitä lähemmäs ääretöntä funktion arvo menee. Miten tämä ratkaistaan? Yksinkertaisesti sanotaan, ettei funktiolla ole pisteessä nolla raja-arvoa. Sillä on vain kaksi erilaista toispuoleista raja-arvoa:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$