Ensidigt gränsvärde

Vanligtvis beräknar vi det tvåsidiga gränsvärdet, dvs. vi undersöker vilket värde funktionsvärdena närmar sig både från vänster och från höger. Men vi kan också undersöka bara ett ensidigt gränsvärde – bara från vänster eller bara från höger.

Ensidiga gränsvärden

Vi har en funktion f(x) och en punkt x₀ där vi vill beräkna gränsvärdet. Normalt skulle vi skriva:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Men vi kan närma oss punkten x₀ bara från en sida – antingen från vänster eller från höger. Det skrivs med tecknen minus och plus i övre index. ”x som närmar sig sju från vänster” och ”x som närmar sig tio från höger” skulle vi alltså skriva så här:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Vi ändrar definitionen enkelt genom att i stället för hela omgivningen av hopningspunkten ta bara dess vänstra eller högra omgivning. Den ändrade definitionen av gränsvärdet från höger:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Lägg märke till att vi i implikationen bara tar de x som är större än x₀ – vi tar alltså de x som ligger till höger om talet x₀ på tallinjen. Definitionen av gränsvärdet från vänster:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Vänstergränsvärdet och högergränsvärdet behöver i allmänhet inte vara lika. Flera fall kan inträffa: funktionen har gränsvärde både från vänster och från höger, funktionen har bara ett av dem, och slutligen kan funktionen sakna båda.

Det gäller att funktionen f har ett gränsvärde i punkten x₀ om och endast om den har gränsvärde både från vänster och från höger i den punkten och de båda gränsvärdena är lika. Om den har båda ensidiga gränsvärdena men de är olika har funktionen inget gränsvärde i punkten – den har bara ensidiga gränsvärden.

Vi demonstrerar allt på den enkla funktionen f(x) = 1/x. Här är grafen:

Ett trivialt fall är gränsvärdet när x närmar sig ett. I punkten ett är funktionen kontinuerlig, den är definierad och det är överhuvudtaget ett fint exempel. Från både vänster och höger närmar sig funktionsvärdet ett, så gränsvärdet blir också ett. Men vad gör vi om vi vill beräkna gränsvärdet när x närmar sig noll?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Det här är redan ett intressant exempel. Lägg märke till att vi försöker hitta gränsvärdet i en punkt som inte ligger i funktionens definitionsmängd. Om vi sätter in värdet noll i funktionen får vi ett ogiltigt uttryck (du kan inte dividera med noll!). Det gör ingenting, för definitionen talar om en hopningspunkt, och noll är en hopningspunkt till definitionsmängden eftersom vi i varje omgivning av noll hittar något element i funktionens definitionsmängd.

Om vi tittar på grafen och börjar närma oss noll från vänster ser vi att funktionsvärdet hela tiden minskar. Exempel:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Om vi tog något negativt tal som ligger ”mycket” nära noll, till exempel −0,000 001, skulle vi få ett ”mycket” litet tal som funktionsvärde: −1 000 000.

Ju närmare noll vi kommer från vänster, desto mer närmar sig funktionsvärdet minus oändligheten. Omvänt ser vi att om vi närmar oss noll från höger växer funktionsvärdet. Ju närmare noll vi kommer från höger, desto mer närmar sig funktionsvärdet oändligheten. Hur löser vi det? Vi säger helt enkelt att funktionen inte har något gränsvärde i punkten noll. Den har bara två olika ensidiga gränsvärden:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$