Sonsuz Noktada Sonlu Limit

Fonksiyonun limiti, matematiksel analizin en önemli kavramlarından biridir. Bir fonksiyonun belirli bir noktanın çevresindeki davranışını anlatır; bu sayede örneğin fonksiyonun sürekliliğini tanımlayabiliriz. Limit, fonksiyonun hiç tanımlı olmadığı noktalardaki davranışını da anlamamıza yardımcı olur.

Sonsuz Noktada Sonlu Limit

Bu durum dizilerin limitlerine benzer. Sonsuza yaklaşırken fonksiyonun limitinin ne olduğunu arıyoruz. Limit sonlu ya da sonsuz olabilir. Sonlu limitle başlayalım.

∞, f fonksiyonunun tanım kümesinin yığılma noktası olsun. O zaman aşağıdaki koşul sağlanıyorsa L ∈ ℝ sayısı, fonksiyonun ∞ noktasındaki limitidir:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in \text{tanım kümesi})(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

şu koşul sağlanıyorsa da −∞ noktasındaki limitidir:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in \text{tanım kümesi})(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Tanım bize ne söylüyor? Düşündüğümüz L limitinin çevresinde (yani y ekseninde) bir ϵ-komşuluğu seçersek, her zaman x ekseninde öyle bir A noktası bulabiliriz ki A’nın sağındaki herhangi bir x noktası, yani x>A için |f(x) − L| < ϵ sağlanır; yani tüm fonksiyon değerlerinin L limitine uzaklığı ϵ’dan azdır.

f(x) = (2/x) + 1 fonksiyonunu alalım. Grafik:

x sonsuza yaklaştıkça f(x) fonksiyon değerinin bire yaklaştığı görülüyor. O halde L = 1 seçelim. Şimdi L = 1 sayısının bu fonksiyonun artı sonsuzdaki limiti olduğunu ispatlayalım. Önce deneyelim. Bir epsilon seçelim, örneğin $ϵ=\frac{1}{2}$. Şimdi öyle bir A ∈ ℝ bulmaya çalışalım ki A’dan büyük tüm x değerleri için fonksiyon değerinin L’ye uzaklığı ϵ’dan az olsun. Şekle çizelim:

f(x) fonksiyon değerinin L noktasına uzaklığının ϵ’dan az olması, fonksiyonun grafiğini çizen eğrinin şu kırmızı çizgilerin arasında kalması demektir. Şimdi x ekseninde, bu koşulun sağlandığı A sınırını bulmalıyız. Bunun mutlaka mümkün olan en küçük sınır olması gerekmez, o yüzden örneğin A = 6 seçebiliriz.

Grafiği çizen eğrinin A sınırının ötesinde tamamen, L’ye ϵ uzaklığı belirten kırmızı çizgilerin arasında kaldığını görüyoruz. Şimdi bunu yalnızca belirli bir ϵ için gösterdik; L = 1 sayısının gerçekten limit olduğunu ispatlamak için bunu tüm ϵ > 0 değerleri için gösterebilmemiz gerekir.

Şimdi bu bağıntının hangi A değerleri için sağlandığını bulmalıyız:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Yerine yazarsak:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Birleri çıkarabiliriz:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Ayrıca yalnızca pozitif x değerlerini alacağımızı varsayabiliriz (artı sonsuza yaklaşan x değerleri ilgimizi çekiyor); böylece mutlak değeri kaldırabiliriz:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

x ile çarpalım:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

ϵ’a bölelim:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Bu işlemlerle x’in 2/ϵ’dan büyük olması gerektiğini bulduk. Yani A yerine 2/ϵ’dan büyük herhangi bir sayı seçersek, aradığımız sınırı bulmuş oluruz.

Önceki denemede $ϵ=\frac{1}{2}$ seçmiştik, yani A olarak $2/\frac{1}{2}=4$’ten büyük bir sayı seçmeliyiz. Biz A = 6 seçtik, bu uygundur.