Limite unilaterale

Di solito calcoliamo il limite bilaterale, cioè cerchiamo a quale valore si avvicinano i valori della funzione sia da sinistra sia da destra. Possiamo però cercare anche solo il limite unilaterale: soltanto da sinistra oppure soltanto da destra.

Limiti unilaterali

Abbiamo una funzione f(x) e un punto x₀ in cui vogliamo calcolare il limite. Normalmente scriveremmo:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Al punto x₀ però possiamo avvicinarci anche solo da un lato: da sinistra oppure da destra. Si scrive con i segni meno e più all’apice. Quindi «x che si avvicina a sette da sinistra» e «x che si avvicina a dieci da destra» si scrivono così:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

La definizione si modifica semplicemente: invece di tutto l’intorno del punto di accumulazione prendiamo solo il suo intorno sinistro o destro. La definizione modificata di limite destro:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Osserva che nell’implicazione prendiamo solo gli x maggiori di x₀, cioè gli x che sulla retta dei numeri stanno a destra del numero x₀. La definizione di limite sinistro:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

In generale il limite sinistro e il limite destro non sono necessariamente uguali. Possono presentarsi vari casi: la funzione ha in un punto sia il limite sinistro sia quello destro, ha soltanto uno dei due, oppure non ha nessuno dei due.

Vale inoltre che la funzione f ha limite nel punto x₀ se e solo se ha in questo punto il limite sinistro e il limite destro e i due limiti sono uguali. Se ha entrambi i limiti unilaterali ma sono diversi, la funzione non ha limite nel punto dato: ha soltanto limiti unilaterali.

Proviamo a mostrare tutto su una funzione semplice, f(x) = 1/x. Ecco il grafico:

Un caso banale è il limite per x che si avvicina a uno. Nel punto uno la funzione è continua, è definita ed è un bell’esempio. Sia da sinistra sia da destra il valore della funzione si avvicina a uno, quindi anche il limite sarà uno. Ma che cosa succede se vogliamo calcolare il limite per x che si avvicina a zero?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Questo è già un esempio interessante. Osserva che stiamo cercando il limite in un punto che non appartiene al dominio della funzione. Se sostituiamo nella funzione il valore zero, otteniamo un’espressione priva di significato (per zero non si divide!). Per noi non è affatto un problema, perché la definizione parla di punto di accumulazione e zero è un punto di accumulazione del dominio, dato che in ogni suo intorno troviamo qualche elemento del dominio della funzione.

Se guardiamo il grafico e cominciamo ad avvicinarci a zero da sinistra, vediamo che il valore della funzione continua a diminuire. Esempi:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Se prendiamo un numero negativo che è «molto» vicino a zero, per esempio −0,000 001, otteniamo come valore della funzione un numero «molto» piccolo: −1.000.000.

Più ci avviciniamo a zero da sinistra, più il valore della funzione si avvicina a meno infinito. Al contrario, vediamo che se ci avviciniamo a zero da destra, il valore della funzione cresce. Più ci avviciniamo a zero da destra, più il valore della funzione si avvicina a più infinito. Come risolviamo la questione? Semplicemente diciamo che la funzione non ha limite nel punto zero. Ha soltanto due limiti unilaterali diversi:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$