Einseitiger Grenzwert

Üblicherweise berechnen wir den beidseitigen Grenzwert, wir untersuchen also, welchem Wert sich die Funktionswerte sowohl von links als auch von rechts nähern. Wir können aber auch nur den einseitigen Grenzwert untersuchen – nur von links oder nur von rechts.

Einseitige Grenzwerte

Es sei f(x) eine Funktion und x₀ eine Stelle, an der wir den Grenzwert berechnen wollen. Normalerweise würden wir schreiben:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Der Stelle x₀ können wir uns aber auch nur von einer Seite nähern – entweder von links oder von rechts. Das schreibt man mithilfe eines hochgestellten Minus- bzw. Pluszeichens. „x nähert sich der Sieben von links“ und „x nähert sich der Zehn von rechts“ würden wir also so schreiben:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Die Definition passen wir einfach so an, dass wir statt der ganzen Umgebung des Häufungspunktes nur seine linke oder rechte Umgebung nehmen. Die angepasste Definition des Grenzwerts von rechts:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Beachte, dass wir in der Implikation nur die x nehmen, die größer als x₀ sind – wir nehmen also die x, die auf dem Zahlenstrahl rechts von der Zahl x₀ liegen. Die Definition des Grenzwerts von links:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert müssen im Allgemeinen nicht übereinstimmen. Es können mehrere Fälle eintreten: Die Funktion hat an der Stelle sowohl einen linksseitigen als auch einen rechtsseitigen Grenzwert, die Funktion hat nur einen dieser Grenzwerte, und schließlich muss sie auch keinen von beiden haben.

Dabei gilt: Die Funktion f hat an der Stelle x₀ genau dann einen Grenzwert, wenn sie an dieser Stelle einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert hat und beide übereinstimmen. Hat sie beide einseitigen Grenzwerte, aber sind diese verschieden, dann hat die Funktion an der jeweiligen Stelle keinen Grenzwert – sie hat nur einseitige Grenzwerte.

Wir versuchen, alles an der einfachen Funktion f(x) = 1/x zu demonstrieren. Der Graph:

Ein trivialer Fall ist der Grenzwert für x gegen eins. An der Stelle eins ist die Funktion stetig, sie ist definiert und überhaupt ist es ein schönes Beispiel. Von links und von rechts nähert sich der Funktionswert der Eins, also ist auch der Grenzwert eins. Was aber, wenn wir den Grenzwert für x gegen null berechnen wollen?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Das ist schon ein interessantes Beispiel. Beachte, dass wir den Grenzwert an einer Stelle suchen, die nicht im Definitionsbereich der Funktion liegt. Setzen wir in die Funktion den Wert null ein, erhalten wir einen ungültigen Ausdruck (durch null darf man nicht teilen!). Das stört uns überhaupt nicht, denn in der Definition ist von einem Häufungspunkt die Rede, und null ist ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs, weil wir in jeder seiner Umgebungen irgendein Element des Definitionsbereichs der Funktion finden.

Sehen wir uns den Graphen an und nähern uns der Null von der linken Seite, sehen wir, dass der Funktionswert ständig sinkt. Beispiele:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Nähmen wir eine negative Zahl, die „sehr“ nahe bei null liegt, etwa −0,000 001, bekämen wir als Funktionswert eine „sehr“ kleine Zahl: −1.000.000.

Je näher wir der Null von der linken Seite kommen, desto mehr nähert sich der Funktionswert minus unendlich. Dagegen sehen wir, dass der Funktionswert wächst, wenn wir uns der Null von der rechten Seite nähern. Je mehr wir uns der Null von rechts nähern, desto mehr nähert sich der Funktionswert unendlich. Wie lösen wir das? Wir sagen einfach, dass die Funktion an der Stelle null keinen Grenzwert hat. Sie hat nur zwei verschiedene einseitige Grenzwerte:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$