Eenzijdige limiet

Gewoonlijk berekenen we de tweezijdige limiet, dus we onderzoeken naar welk punt de functiewaarden toe gaan, zowel van links als van rechts. Wij kunnen echter ook alleen een eenzijdige limiet onderzoeken — alleen van links of alleen van rechts.

Eenzijdige limieten

Stel dat we een functie f(x) hebben en een punt x₀ waarin we de limiet willen berekenen. Normaal zouden we schrijven:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Het punt x₀ kunnen we echter ook alleen van één kant naderen — van links of van rechts. Dat schrijf je op met een min- of plusteken rechtsboven. “x gaat naar zeven van links” en “x gaat naar tien van rechts” schrijven we dus zo:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

De definitie passen we eenvoudig aan: in plaats van de hele omgeving van het ophopingspunt nemen we alleen de linker- of rechteromgeving ervan. De aangepaste definitie van de limiet van rechts:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Let op: in de implicatie nemen we alleen die x die groter zijn dan x₀ — we nemen dus die x die op de getallenlijn rechts van het getal x₀ liggen. De definitie van de limiet van links:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

De linker- en de rechterlimiet hoeven in het algemeen niet gelijk te zijn. Er zijn verschillende gevallen mogelijk: de functie heeft in het punt zowel een linker- als een rechterlimiet, de functie heeft maar één van deze limieten en ten slotte kan het zijn dat ze geen van beide limieten heeft.

Daarbij geldt dat de functie f in het punt x₀ een limiet heeft dan en slechts dan als ze in dat punt een linker- en een rechterlimiet heeft en beide limieten gelijk zijn. Als ze beide eenzijdige limieten heeft, maar die limieten verschillend zijn, dan heeft de functie in het gegeven punt geen limiet — ze heeft alleen eenzijdige limieten.

We demonstreren alles aan de hand van de eenvoudige functie f(x) = 1/x. De grafiek volgt:

Een triviaal geval is de limiet voor x naar één. In het punt één is de functie continu, ze is gedefinieerd en het is over het geheel genomen een mooi voorbeeld. Zowel van links als van rechts gaat de functiewaarde naar één, dus de limiet is ook één. Maar wat als we de limiet voor x naar nul willen berekenen?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Dit is al een interessanter voorbeeld. Let op: we proberen een limiet te vinden in een punt dat niet in het domein van de functie ligt. Als we in de functie de waarde nul invullen, krijgen we een ongeldige uitdrukking (delen door nul kan niet!). Dat maakt helemaal niet uit, want in de definitie gaat het over een ophopingspunt en nul is een ophopingspunt van het domein, omdat we in elke omgeving ervan een element van het domein van de functie vinden.

Als we naar de grafiek kijken en nul van de linkerkant beginnen te naderen, zien we dat de functiewaarde steeds kleiner wordt. Voorbeelden:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Als we een negatief getal nemen dat “heel” dicht bij nul ligt, bijvoorbeeld −0,000 001, krijgen we als functiewaarde een “heel” klein getal: −1 000 000.

Hoe dichter we van links bij nul komen, hoe meer de functiewaarde naar min oneindig gaat. Aan de andere kant zien we dat als we nul van rechts naderen, de functiewaarde groeit. Hoe dichter we van rechts bij nul komen, hoe meer de functiewaarde naar oneindig gaat. Hoe lossen we dat op? We zeggen eenvoudig dat de functie in het punt nul geen limiet heeft. Ze heeft alleen twee verschillende eenzijdige limieten:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$