Limite lateral

Em geral calculamos o limite bilateral, isto é, descobrimos de que ponto se aproximam os valores da função tanto pela esquerda quanto pela direita. Mas podemos também descobrir apenas o limite lateral — somente pela esquerda ou somente pela direita.

Limites laterais

Tomemos uma função f(x) e um ponto x₀ no qual queremos calcular o limite. Normalmente escreveríamos:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Mas podemos nos aproximar do ponto x₀ apenas por um dos lados — ou pela esquerda, ou pela direita. Isso se escreve com os sinais de menos e de mais no índice superior. Assim, “x tendendo a sete pela esquerda” e “x tendendo a dez pela direita” seriam escritos assim:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Modificamos a definição de modo simples: em vez da vizinhança inteira do ponto de acumulação, tomaremos apenas a sua vizinhança à esquerda ou à direita. A definição modificada de limite à direita:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Observe que, na implicação, tomamos apenas os x maiores que x₀ — tomamos, portanto, os x que estão na reta numérica à direita do número x₀. Definição de limite à esquerda:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Os limites à esquerda e à direita, em geral, não precisam ser iguais. Podem ocorrer vários casos: a função tem no ponto limite à esquerda e à direita, a função tem apenas um desses limites e, por fim, pode não ter nenhum deles.

Vale, além disso, que a função f tem limite no ponto x₀ se, e somente se, tem nesse ponto limite à esquerda e à direita e os dois limites são iguais. Se tem os dois limites laterais, mas esses limites são diferentes, a função não tem limite no ponto dado — tem apenas limites laterais.

Vamos tentar ilustrar tudo isso com a função simples f(x) = 1/x. O gráfico vem a seguir:

Um caso trivial é o limite para x tendendo a um. No ponto um a função é contínua, está definida e, em suma, é um belo exemplo. Pela esquerda e pela direita o valor da função se aproxima de um, então o limite também será um. Mas e se quisermos calcular o limite para x tendendo a zero?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Este já é um exemplo interessante. Observe que tentamos procurar o limite em um ponto que não está no domínio da função. Se substituirmos na função o valor zero, obtemos uma expressão inválida (não se divide por zero!). Isso não nos incomoda em nada, porque a definição fala de ponto de acumulação, e zero é ponto de acumulação do domínio, pois em toda vizinhança dele encontramos algum elemento do domínio da função.

Se olharmos para o gráfico e começarmos a nos aproximar de zero pelo lado esquerdo, vemos que o valor da função diminui continuamente. Exemplos:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Se tomássemos algum número negativo que está “muito” perto de zero, por exemplo −0,000 001, obteríamos como valor da função um número “muito” pequeno: −1.000.000.

Quanto mais perto de zero estivermos pelo lado esquerdo, mais o valor da função se aproximará de menos infinito. Já se nos aproximamos de zero pelo lado direito, vemos que o valor da função cresce. Quanto mais nos aproximamos de zero pela direita, mais o valor da função se aproxima do infinito. Como resolvemos isso? Simplesmente dizemos que a função não tem limite no ponto zero. Tem apenas dois limites laterais diferentes:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$