Limită laterală

De obicei calculăm limita bilaterală, adică aflăm de ce punct se apropie valorile funcției atât din stânga, cât și din dreapta. Dar putem afla și doar limita laterală – doar la stânga sau doar la dreapta.

Limite laterale

Fie o funcție f(x) și un punct x₀ în care vrem să calculăm limita. În mod normal am scrie:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Dar ne putem apropia de punctul x₀ doar dintr-o parte – fie din stânga, fie din dreapta. Se notează cu semnele minus și plus ca indice superior. Așadar „x care se apropie de șapte din stânga” și „x care se apropie de zece din dreapta” le-am scrie astfel:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Definiția o modificăm simplu: în loc de întreaga vecinătate a punctului de acumulare, vom lua doar vecinătatea lui din stânga sau din dreapta. Definiția modificată a limitei la dreapta:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Observă că în implicație luăm doar acei x care sunt mai mari decât x₀ – luăm deci acei x care se află pe axa numerelor în dreapta numărului x₀. Definiția limitei la stânga:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Limita la stânga și limita la dreapta nu sunt în general egale. Pot apărea mai multe cazuri: funcția are în punct limită și la stânga, și la dreapta, funcția are doar una dintre aceste limite, sau nu are niciuna dintre ele.

Totodată, funcția f are limită în punctul x₀ dacă și numai dacă are în acest punct limită la stânga și la dreapta, iar cele două limite sunt egale. Dacă are ambele limite laterale, dar acestea sunt diferite, atunci funcția nu are limită în punctul dat – are doar limite laterale.

Vom ilustra totul pe funcția simplă f(x) = 1/x. Urmează graficul:

Un caz banal este limita pentru x care se apropie de unu. În punctul unu funcția este continuă, este definită și în general este un exemplu frumos. Din stânga și din dreapta valoarea funcției se apropie de unu, deci și limita va fi unu. Dar ce facem dacă vrem să calculăm limita pentru x care se apropie de zero?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Acesta este deja un exemplu interesant. Observă că încercăm să căutăm limita într-un punct care nu aparține domeniului de definiție al funcției. Dacă înlocuim în funcție valoarea zero, obținem o expresie fără sens (nu se poate împărți la zero!). Asta nu ne deranjează deloc, pentru că în definiție se vorbește despre punct de acumulare, iar zero este punct de acumulare al domeniului de definiție, pentru că în orice vecinătate a lui găsim un element al domeniului de definiție al funcției.

Dacă ne uităm la grafic și începem să ne apropiem de zero din partea stângă, vedem că valoarea funcției scade mereu. Exemple:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Dacă am lua un număr negativ care se apropie „foarte mult” de zero, să zicem −0,000001, am obține ca valoare a funcției un număr „foarte” mic: −1.000.000.

Cu cât ne apropiem mai mult de zero din partea stângă, cu atât valoarea funcției se apropie mai mult de minus infinit. În schimb, vedem că dacă ne apropiem de zero din partea dreaptă, valoarea funcției crește. Cu cât ne apropiem mai mult de zero din dreapta, cu atât valoarea funcției se apropie mai mult de infinit. Cum rezolvăm? Spunem simplu că funcția nu are limită în punctul zero. Are doar două limite laterale diferite:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$