Ensidet grænseværdi

Normalt beregner vi den tosidede grænseværdi, altså vi undersøger, hvilken værdi funktionsværdierne nærmer sig både fra venstre og fra højre. Men vi kan også undersøge kun den ensidede grænseværdi — kun fra venstre eller kun fra højre.

Ensidede grænseværdier

Lad os have en funktion f(x) og et punkt x₀, hvor vi vil beregne grænseværdien. Normalt ville vi skrive:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Men vi kan nærme os punktet x₀ kun fra den ene side — enten fra venstre eller fra højre. Det skrives med tegnene minus og plus i hævet skrift. Så »x gående mod syv fra venstre« og »x gående mod ti fra højre« ville vi skrive sådan:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Definitionen ændrer vi let, så vi i stedet for hele omegnen af ophobningspunktet kun tager dets venstre eller højre omegn. Den ændrede definition af grænseværdi fra højre:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dm}(f))((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Bemærk, at vi i implikationen kun tager de x, som er større end x₀ — vi tager altså de x, som ligger til højre for tallet x₀ på tallinjen. Definition af grænseværdi fra venstre:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dm}(f))((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Venstre og højre grænseværdi behøver generelt ikke at være ens. Der kan opstå flere tilfælde: funktionen har i punktet grænseværdi både fra venstre og fra højre, funktionen har kun én af disse grænseværdier, og endelig behøver den ikke at have nogen af dem.

Der gælder, at funktionen f har en grænseværdi i punktet x₀, netop når den i dette punkt har grænseværdi både fra venstre og fra højre, og de to grænseværdier er ens. Hvis den har begge ensidede grænseværdier, men de er forskellige, har funktionen ingen grænseværdi i det givne punkt — den har kun ensidede grænseværdier.

Vi prøver at demonstrere det hele på den simple funktion f(x) = 1/x. Grafen følger:

Et trivielt tilfælde er grænseværdien for x gående mod en. I punktet en er funktionen kontinuert, den er defineret, og det er i det hele taget et pænt eksempel. Både fra venstre og fra højre nærmer funktionsværdien sig en, så grænseværdien bliver også en. Men hvad hvis vi vil beregne grænseværdien for x gående mod nul?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Det er allerede et interessant eksempel. Bemærk, at vi forsøger at finde grænseværdien i et punkt, som ikke ligger i funktionens definitionsmængde. Hvis vi indsætter værdien nul i funktionen, får vi et ugyldigt udtryk (du kan ikke dividere med nul!). Det generer os slet ikke, fordi definitionen taler om et ophobningspunkt, og nul er et ophobningspunkt for definitionsmængden, fordi vi i enhver omegn af det finder et element fra funktionens definitionsmængde.

Når vi ser på grafen og begynder at nærme os nul fra venstre side, ser vi, at funktionsværdien hele tiden bliver mindre. Eksempler:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Hvis vi tog et negativt tal, som ligger »meget« tæt på nul, for eksempel −0,000 001, ville vi få som funktionsværdi et »meget« lille tal: −1.000.000.

Jo tættere vi kommer på nul fra venstre side, jo mere nærmer funktionsværdien sig minus uendelig. Omvendt ser vi, at når vi nærmer os nul fra højre side, så vokser funktionsværdien. Jo tættere vi kommer på nul fra højre, jo mere nærmer funktionsværdien sig uendelig. Hvordan løser vi det? Vi siger simpelthen, at funktionen ikke har nogen grænseværdi i punktet nul. Den har kun to forskellige ensidede grænseværdier:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$