Số hữu tỉ

Số hữu tỉ là các số viết được dưới dạng thương của hai số nguyên, tức là dưới dạng phân số.

Định nghĩa

Như vậy, số hữu tỉ là các số viết được dưới dạng

$$\frac{a}{b}a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0.$$

Vì sao cả hai số đều phải là số nguyên? Nếu chọn một số không hữu tỉ, chẳng hạn π, rồi lập phân số như sau:

$$\frac{\pi }{1},$$

thì ta lại được số π, mà số này không phải là số hữu tỉ. Vì vậy cả tử số lẫn mẫu số đều phải là số nguyên. Và vì không thể chia cho 0 nên mẫu số phải khác 0.

Cũng có thể nói rằng số hữu tỉ là các số có biểu diễn thập phân hữu hạn và các số có biểu diễn thập phân vô hạn, trong đó có một nhóm chữ số lặp đi lặp lại. Sau đây là một số ví dụ về số hữu tỉ, trước hết ở dạng phân số:

$$\frac{1}{3},-\frac{5}{9},\frac{13}{29},\frac{4}{1},\dots$$

và ở dạng số thập phân: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…=$0,\bar{3}$

Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ở ví dụ trên có số 0,3333… Đây là biểu diễn thập phân của phân số 1/3, một số có biểu diễn thập phân vô hạn. Tuy vậy, đây vẫn là số hữu tỉ, vì biểu diễn thập phân này tuần hoàn. Tuần hoàn nghĩa là từ một vị trí nào đó trở đi, cùng một dãy chữ số cứ lặp lại mãi. Trong ví dụ này, chữ số 3 lặp lại vô hạn lần. Nhóm chữ số lặp lại vô hạn lần cũng có thể dài hơn, chẳng hạn 12345; khi đó số vẫn là số thập phân vô hạn tuần hoàn, tức là số hữu tỉ.

Như vậy, mọi số có biểu diễn thập phân hữu hạn đều là số hữu tỉ. Mọi số có biểu diễn thập phân vô hạn mà có một nhóm chữ số lặp lại tuần hoàn cũng là số hữu tỉ. Số có biểu diễn thập phân vô hạn mà không có nhóm chữ số nào lặp lại tuần hoàn là số vô tỉ.

Chu kì có thể kí hiệu bằng ba dấu chấm hoặc, thường gặp hơn ở nhiều nước, bằng một gạch ngang trên các chữ số lặp lại. Sách giáo khoa Việt Nam thường viết chu kì trong dấu ngoặc tròn, chẳng hạn 2,(3) hay 1,(45). Chu kì có thể gồm một chữ số, nhưng cũng có thể gồm nhiều chữ số. Chu kì có thể bắt đầu ngay sau dấu phẩy hoặc ở bất kì vị trí nào sau đó. Tất cả các số sau đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn:

$$\begin{array}{rclcl}7/3& =& \mathrm{2,333}33\dots & =& 2,\bar{3}\\ 16/11& =& \mathrm{1,454}545\dots & =& 1,\overline{45}\\ 11/6& =& \mathrm{1,833}333\dots & =& 1,8\bar{3}\end{array}$$

Kí hiệu và ý nghĩa

Tập số hữu tỉ kí hiệu bằng chữ Q có nét cong kép: ℚ. Chữ Q lấy từ tiếng Anh “quotient”, nghĩa là “thương”, tức kết quả của phép chia.

Số hữu tỉ dùng để chỉ một phần của một tổng thể, chẳng hạn “một nửa” hay “một phần mười”. Đó là các phần của tổng thể, mà trong tập số hữu tỉ có thể biểu diễn bằng thương 1/2 và 1/10. Khi đó mẫu số chỉ tổng thể, còn tử số chỉ phần được lấy ra. Nếu tử số bằng mẫu số thì ta có cả tổng thể. Những tỉ số như vậy thường được đổi sang phần trăm.

Tính chất

1. Tập số hữu tỉ là tập vô hạn đếm được.

• Tập số hữu tỉ đóng đối với phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia (cho số khác 0). Nghĩa là chia hai số hữu tỉ, ta lại được một số hữu tỉ. Đây là điểm khác so với tập số nguyên, vốn không đóng đối với phép chia.
• Tập số hữu tỉ chứa mọi số nguyên. Mọi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng phân số a/b, nên chỉ cần lấy b = 1: phép chia a/1 = a luôn cho lại đúng tử số.
• Với hai số hữu tỉ a và b bất kì mà a < b, luôn tìm được một số hữu tỉ q thoả mãn a < q < b. Nói cách khác, giữa hai số hữu tỉ bất kì luôn có một số hữu tỉ khác. Thậm chí còn có khẳng định mạnh hơn: giữa hai số hữu tỉ bất kì có vô số số hữu tỉ khác.
• Hệ quả của tính chất trên là không tồn tại số hữu tỉ dương nhỏ nhất (cũng như số hữu tỉ âm lớn nhất). Có thể chứng minh điều này bằng phương pháp phản chứng. Giả sử m là số hữu tỉ dương nhỏ nhất. Khi đó không thể tìm được số hữu tỉ dương nào nhỏ hơn số đó. Tuy nhiên 0 < m, nên theo tính chất trên tồn tại số hữu tỉ s thoả mãn 0 < s < m. Ta đã tìm được số s lớn hơn 0 (tức là số dương) và nhỏ hơn m. Điều này mâu thuẫn với giả thiết m là số hữu tỉ dương nhỏ nhất.

Các phép toán với số hữu tỉ

Tất cả các phép toán cơ bản thường gặp được trình bày trong bài phân số.

Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số

Vì số thập phân vô hạn tuần hoàn cũng là số hữu tỉ nên nó phải đổi được ra phân số. Sau đây là cách làm. Xét số tuần hoàn a = 0,333… Ta viết

$$a=0,\bar{3}$$

Bây giờ thực hiện các phép biến đổi tương đương quen thuộc: nhân cả hai vế của đẳng thức với 10:

$$10a=3,\bar{3}$$

Ở vế phải, một chữ số 3 đã chuyển sang hàng đơn vị, còn sau dấu phẩy vẫn có vô số chữ số 3. Tiếp theo, trừ đi a, tức là trừ đi 0,333…; nhờ đó phần thập phân vô hạn biến mất.

$$9a=3$$

Bước này có thể hơi khó theo dõi, nên ta viết chi tiết hơn. Ta đã thực hiện phép tính sau:

$$\begin{array}{ccccccc}& 3& ,& 3& 3& 3& \dots \\ -& 0& ,& 3& 3& 3& \dots \\ =& 3& ,& 0& 0& 0& \dots \end{array}$$

Chỉ cần chia hai vế của đẳng thức 9a = 3 cho 9 là được kết quả:

$$a=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Xét thêm một ví dụ nữa:

$$a=\mathrm{1,454}545\dots =1,\overline{45}$$

Cách làm sẽ hơi khác một chút. Ở ví dụ trước, chu kì có độ dài 1. Nói chính xác hơn, có thể coi chu kì dài bao nhiêu cũng được, vì các chữ số giống nhau cứ lặp lại, nhưng chọn độ dài 1 là tiện nhất. Lần này chu kì có độ dài 2. Cũng có thể coi chu kì dài 6, nhưng như vậy không tiện. Để trừ đi trọn vẹn cả chu kì, lần này ta phải nhân với 100:

$$100a=145,\overline{45}$$

Trừ đi một lần a:

$$99a=144$$

Rồi chia cho 99:

$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$

Nếu thử chia hai số này trên máy tính bỏ túi, bạn sẽ được đúng 1,454545… Tuy nhiên, phần lớn máy tính bỏ túi đều làm tròn, nên kết quả hiển thị có thể hơi khác một chút.

Điều thú vị về 0,9999…

Để cho vui, ta thử đổi ra phân số số tuần hoàn

$$a=0,\bar{9}$$

Nhân với 10:

$$10a=9,\bar{9}$$

Trừ đi a:

$$9a=9$$

Chia cho 9:

$$a=1$$

Ta được số 1, tức là số 0,999… bằng số 1.

Liên kết

• Wikipedia