Nguồn gốc của số e

Số e là một trong những hằng số toán học nổi tiếng nhất, cùng với số pi π. Bài này kể lại người ta đã tìm ra số này như thế nào và nó có ý nghĩa gì.

Vào thế kỉ XVII, nhà toán học Thuỵ Sĩ Jacob Bernoulli quan tâm đến lãi kép. Giả sử ta có 1 triệu đồng và gửi vào một ngân hàng trả lãi suất 100% một năm. Ngân hàng làm vậy thì thật là điên rồ, nhưng vì toán học thì có gì mà ngân hàng không làm. Sau đúng một năm, trong tài khoản sẽ có bao nhiêu tiền? Tất nhiên là 2 triệu đồng.

Tình hình sẽ thay đổi thế nào nếu ngân hàng trả lãi suất 50% cho mỗi nửa năm và cứ nửa năm lại nhập lãi vào gốc một lần? Như vậy có lợi hơn cho ta không, hay kém hơn?

Sau nửa năm đầu, số tiền sẽ tăng thêm một nửa. “Tăng thêm một nửa” viết trong toán học là $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. Thay x bằng số tiền gửi, tức là 1 (triệu đồng), ta tính được

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Sau nửa năm, trong tài khoản có 1,5 triệu đồng. Sau nửa năm thứ hai, số tiền lại tăng thêm một nửa. Dùng đúng công thức đó, chỉ thay x bằng số dư mới, tức là 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Như vậy sau một năm, trong tài khoản có 2,25 triệu đồng. Nhập lãi thường xuyên hơn với lãi suất thấp hơn thì có lợi hơn cho ta.

Nhập lãi hằng tháng

Nếu ngân hàng nhập lãi hằng tháng, nhưng lãi suất mỗi kì chỉ bằng một phần mười hai lãi suất ban đầu thì sao? Chà, lần này phải tính khá nhiều. Sau tháng đầu tiên, số dư là bao nhiêu? Số tiền sẽ “tăng thêm một phần mười hai”, viết là $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Vậy sau tháng đầu tiên ta có:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

Sau tháng thứ hai ta có

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Nhưng để ý rằng thay cho số 1,0833333 có thể viết $1\cdot (1+\frac{1}{12})$, vì hai số này bằng nhau:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Sau tháng thứ ba, trong tài khoản có:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Có thể thấy phép tính tuân theo một quy luật: biểu thức trong ngoặc lặp lại đúng bằng số thứ tự của tháng đang tính. Có thể rút gọn biểu thức trên: thay vì viết ba dấu ngoặc giống nhau, ta viết một dấu ngoặc và nâng lên luỹ thừa bậc ba:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Phép nhân với 1 ở đầu cũng không cần thiết, nên ta bỏ đi:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Muốn tính số dư sau 12 tháng, chỉ cần thay số mũ 3 bằng 12:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Sau 12 tháng, trong tài khoản có khoảng 2,6130352 triệu đồng. Không tệ chút nào! Tốt hơn nhiều so với lãi suất 100% nhập lãi một lần mỗi năm.

Lãi kép liên tục

Không cần dừng lại ở từng tháng. Nếu nhập lãi mỗi tuần với lãi suất bằng $\frac{1}{52}$ lãi suất ban đầu thì ta có bao nhiêu? Vì đã biết công thức nên chỉ cần thay số:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Nhập lãi mỗi ngày?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Nhập lãi mỗi giờ? (Một năm có 8.760 giờ.)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Ta thấy mỗi khi lấy lãi suất thấp hơn và nhập lãi thường xuyên hơn thì cuối cùng số tiền trong tài khoản lại nhiều hơn một chút. Nhưng phần tăng thêm không còn lớn nữa. Cứ thế có thể tiếp tục mãi. Thực ra, đó không phải là ý tồi: có thể nhập lãi mỗi phút, mỗi giây, mỗi mili giây, mỗi nano giây… cho đến khi việc nhập lãi diễn ra liên tục. Khi đó ta có một khoản lãi rất nhỏ được cộng vào số dư ở mọi thời điểm. Trong trường hợp này, sau một năm trong tài khoản sẽ có bao nhiêu tiền?

Trở lại với số e

Đó chính là câu hỏi mà Jacob Bernoulli đã cố gắng trả lời. Đáng tiếc là ông không làm được, và phải đến thế kỉ XVIII nhà toán học lừng danh Leonhard Euler mới giải được. Euler tính ra rằng sau một năm trong tài khoản sẽ có

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

triệu đồng. Có thể thấy con số này không lớn hơn bao nhiêu so với khi nhập lãi mỗi giờ. Vì số tiền này, con số này, hoá ra rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học nên ngày nay nó được gọi là số e (theo tên của Euler) và kí hiệu bằng chữ e. Số e là một số vô tỉ, tức là số có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn, giống như số π. Vì vậy không bao giờ có thể viết ra toàn bộ các chữ số của nó. Dù vậy, có thể định nghĩa chính xác số e bằng giới hạn:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Tài liệu và liên kết

• Một tập rất hay của kênh Numberphile (tiếng Anh) về số e.
• Cách tính lãi vay mua nhà