Biến đổi về bình phương đầy đủ
Bằng phương pháp thêm bớt để tạo bình phương đầy đủ, ta có thể viết hàm số bậc hai ax2 + bx + c dưới dạng (x + m)2 + n.
Thuật toán biến đổi về bình phương đầy đủ
Thuật toán dựa vào hằng đẳng thức quen thuộc về bình phương của một tổng:
Cách làm như sau. Tạm thời giả sử a = 1. Giả sử có hàm số bậc hai f(x) = x2 + 6x + 1 và ta muốn đưa nó về dạng (x + m)2 + n. Trước hết ta xác định các giá trị trong dấu ngoặc thứ nhất: (x + m)2. Số m phải bằng bao nhiêu? Theo hằng đẳng thức, ta có (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Trong hàm số f có x2, phần này khớp. Nhưng ở vị trí hạng tử bậc nhất ta có 6x. Phải chọn m bằng bao nhiêu để 6x = 2mx? Rõ ràng phải có m = b/2 = 6/2 = 3. Vậy m luôn bằng một nửa hệ số b của hàm số bậc hai.
Ta được dạng (x + 3)2 + n. Còn phải xác định số n. Ta đã biết (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Phần x2 + 2mx là phần ta cần, nhưng biểu thức m2 bị thừa: trong hàm số f không có gì tương ứng với nó. Vì vậy ta trừ m2 khỏi kết quả hiện có. Ta được dạng (x + m)2 − m2, khai triển ra bằng x2 + 2mx + m2 − m2. Sau khi trừ, chỉ còn x2 + 2mx.
Nhưng trong hàm số f còn có hệ số tự do c. Ta chỉ việc cộng nó vào. Ta được dạng (x + m)2 − m2 + c, khai triển ra x2 + 2mx + m2 − m2 + c, rút gọn được x2 + 2mx + c. Vì m = b/2 nên biểu thức này bằng x2 + bx + c, tức là khai triển biểu thức (x + m)2 − m2 + c ta lại được hàm số ban đầu: ta đã tính đúng. (Nhắc lại rằng a = 1, nên không thiếu gì cả.)
Với hàm số f trong ví dụ, ta được biểu thức dạng bình phương đầy đủ (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8. Có thể khai triển ngược lại để kiểm tra:
Phương pháp biến đổi về bình phương đầy đủ được dùng chẳng hạn khi muốn vẽ đồ thị hàm số bậc hai.
Khi a ≠ 1
Nếu hàm số không thoả mãn a = 1, ta đặt số a làm nhân tử chung cho cả hàm số rồi làm như đã biết. Ví dụ:
Đặt 2 làm nhân tử chung cho cả biểu thức:
Biểu thức trong ngoặc thì ta đã biết cách đưa về bình phương đầy đủ.
Thay kết quả này vào phương trình trước, ta được: