Khoảng, đoạn và nửa khoảng

Khoảng được dùng rất nhiều trong toán học và xuất hiện trong vô số định nghĩa. Khoảng là một tập hợp các điểm được giới hạn bởi hai đầu mút. Ta phân biệt khoảng không chứa đầu mút và khoảng có chứa đầu mút. Theo SGK, khoảng không chứa cả hai đầu mút gọi là khoảng, khoảng chứa cả hai đầu mút gọi là đoạn, còn khoảng chỉ chứa một đầu mút gọi là nửa khoảng; trong bài này từ “khoảng” cũng được dùng như tên gọi chung.

Mô tả cơ bản

Ta dùng khoảng cả trong lời nói hằng ngày, chẳng hạn “vì màu mắt không đúng quy định, bạn có thể bị Liên minh châu Âu phạt từ 10 đến 20 triệu đồng”. Ví dụ dùng cụm “từ… đến…”, nhưng về mặt toán học thì đó là một khoảng. Lúc này nảy ra những câu hỏi khó: bạn có thể bị phạt đúng 10 triệu đồng không, hay giá trị ở đầu mút không được tính? Mức phạt được chọn chi tiết đến đâu? Có thể phạt 18.541.973 đồng không? Hay chỉ được chọn theo từng bậc 100.000 đồng, tức là 18,5 triệu hoặc 18,6 triệu đồng?

Cách viết toán học giải quyết tất cả. Khi viết, ta phải nói rõ hai điều quan trọng: ta làm việc trên tập hợp nào (trong ví dụ trên: theo bậc trăm nghìn? Theo bậc triệu? Từng đồng một?) và các đầu mút có thuộc khoảng hay không (có thể bị phạt đúng 10 triệu hoặc đúng 20 triệu đồng không?).

Tin tốt là trong đa số trường hợp, toán học làm việc với khoảng trên tập số thực, nên nếu gặp một khoảng không ghi rõ tập hợp thì chắc chắn đó là tập số thực.

Tập hợp nền đã có, giờ làm sao ghi rõ có tính các đầu mút hay không? Khoảng được viết bằng dấu ngoặc. Dấu ngoặc tròn cho biết đầu mút đó không thuộc khoảng, còn dấu ngoặc vuông cho biết đầu mút đó thuộc khoảng. Nếu cả hai đầu mút đều thuộc thì ta có một đoạn, nếu cả hai đều không thuộc thì ta có một khoảng (khoảng mở).

Ví dụ

Sau đây là các ví dụ (tất cả trên tập số thực, nếu không nói gì khác):

• [1; 2]   Đoạn từ 1 đến 2. Đoạn này gồm tất cả các số thực nằm giữa 1 và 2, kể cả 1 và 2.
• (1; 2)   Khoảng từ 1 đến 2. Khoảng này gồm tất cả các số thực nằm giữa 1 và 2, nhưng không chứa chính các số 1 và 2.
• [0; 1)   Nửa khoảng chứa đầu mút bên trái và không chứa đầu mút bên phải. Nó gồm tất cả các số nằm giữa 0 và 1, kể cả số 0, nhưng không chứa số 1.
• (p; q]   Nửa khoảng không chứa đầu mút bên trái và chứa đầu mút bên phải. Nó gồm tất cả các số nằm giữa p và q, kể cả số q nhưng không chứa số p.
• [0; +∞)   Nửa khoảng chứa đầu mút bên trái, còn bên phải không có đầu mút. Nếu khoảng có vô cực thì ở phía đó luôn dùng ngoặc tròn: vô cực không phải là một đầu mút hữu hạn, nên ngoặc vuông ở đó không có nghĩa.
• [1; 5] ⊂ ℕ   Ở đây có sự thay đổi: ta không làm việc trên tập số thực mà trên tập số tự nhiên. Cả hai đầu mút đều thuộc khoảng, nên trong khoảng này có tất cả 5 số: 1, 2, 3, 4 và 5.
• (1; 5] ⊂ ℕ   Giống trường hợp vừa rồi, chỉ có điều đầu mút bên trái không thuộc khoảng, nên số 1 không thuộc khoảng và các phần tử của khoảng là: 2, 3, 4 và 5.

Khoảng như một tập hợp

Như đã thấy, khoảng không gì khác hơn là một tập con của tập hợp mà trên đó nó được định nghĩa. Vì vậy có thể làm việc với khoảng như với tập hợp và thực hiện các phép toán trên tập hợp. Chẳng hạn phép hợp có thể như sau:

$$[0;5]\cup [5;10]=[0;10]$$

Cẩn thận với các khoảng không chứa đầu mút: khi đó đẳng thức không còn đúng, vì số 5 không thuộc tập hợp thu được:

$$(0;5)\cup (5;10)\ne (0;10)$$

Cách viết đúng có thể như sau:

$$(0;5)\cup (5;10)=(0;10)-\{5\}$$

Khi nào dùng khoảng không chứa đầu mút

Cần hiểu rõ sự khác nhau giữa khoảng và đoạn. Một trường hợp thường gặp của khoảng không chứa đầu mút là tập xác định của hàm số lôgarit. Lôgarit chỉ tính được với các số thực dương, nghĩa là không tính được với số âm, và cũng không tính được với số 0. Ta viết điều đó thế nào?

$$D=(0;+\mathrm{\infty })$$

Cách viết này cho biết có thể tính lôgarit của số dương nhỏ tuỳ ý, nhưng không được tính lôgarit của số 0. Chẳng hạn số 1 thuộc khoảng này, số 0,001 cũng vậy, số 0,0000000001 hay 10⁻⁶⁶⁶ cũng thế. Nhưng số 0 thì không thuộc khoảng này. Tương tự, ta có thể viết tập xác định của một hàm số phân thức, chẳng hạn hàm số đơn giản f(x) = 1/x.

$$D=(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$$

Đây là tập số thực bỏ đi số 0. Ở cả hai khoảng, số 0 đều nằm ở phía ngoặc tròn, nên trong hợp của chúng cũng không có số 0. Tuy vậy ta có thể dùng số dương nhỏ tuỳ ý hoặc số âm lớn tuỳ ý (với số âm thì -0,001 lớn hơn -0,1, nên ở đây nói là lớn tuỳ ý chứ không phải nhỏ tuỳ ý).

Biểu diễn trên trục số

Khoảng thường được biểu diễn trên trục số bằng một đoạn thẳng, còn các đầu mút được vẽ tuỳ theo việc chúng có thuộc khoảng hay không. Nếu đầu mút thuộc khoảng thì vẽ chấm tròn đặc, nếu không thuộc thì vẽ chấm tròn rỗng, chỉ có đường viền là một đường tròn.

Hình dưới đây biểu diễn ba khoảng, đều từ 2 đến 6, nhưng khác nhau ở các đầu mút. Theo thứ tự từ trên xuống là: [2; 6], (2; 6], (2; 6).