Vô cực
Vô cực (vô hạn) là một khái niệm trừu tượng mà về cơ bản ta không thể hình dung được. Vô cực không có điểm kết thúc, đúng như tên gọi của nó, nhưng nói chung nó cũng không có điểm bắt đầu (tuy vậy ta có thể nói rõ thêm, chẳng hạn một tia cũng dài vô hạn nhưng có điểm gốc). Vô cực thường được kí hiệu bằng “số 8 nằm ngang”: ∞.
Tính toán với vô cực
Vô cực phần nào giống số 0: số 0 cũng đặc biệt về nhiều mặt và có những quy tắc riêng. Chẳng hạn không thể chia cho 0, điều mà có lẽ đứa trẻ nào cũng biết (nhân tiện, bạn đã nghe chuyện cười này chưa? Lí do hay nhất khi không làm bài tập Toán là gì? “Thưa cô, em lỡ chia cho 0 nên quyển vở bị cháy mất rồi ạ…” ;o)).
Giống như số nào nhân với 0 cũng bằng 0, số dương nào nhân với vô cực hay số nào cộng với vô cực cũng bằng vô cực. Lấy vô cực trừ đi một số lớn đến đâu thì vẫn còn lại vô cực. Chia vô cực cho một số dương cũng vậy. Vô cực lớn đến mức dù mỗi giây bạn trừ đi hàng triệu thì vẫn luôn còn lại vô cực. Đôi khi điều này hơi khó hiểu, chẳng hạn xét đẳng thức nhỏ này: ∞ + 1 = ∞. Nó đúng hay sai?
Trực giác cho ta biết vế trái lớn hơn: nếu cộng 1 vào vô cực thì cả biểu thức phải lớn hơn vô cực thôi chứ. Không hẳn :-). Như đã nói, vô cực cộng với bất cứ số nào cũng bằng vô cực. Vậy vô cực cộng 1 bằng vô cực, và vô cực bằng vô cực. Đẳng thức đúng.
Cũng có thể đi theo cách khác, qua giới hạn. Xét phân số 1/x và tính giới hạn bên phải khi x→0⁺, giả sử lần này vở chưa bị cháy. Giới hạn này bằng vô cực. Nếu cộng 1 vào biểu thức này, ta được biểu thức (1+x)/x, và giới hạn khi x→0⁺ vẫn là vô cực.
Chuyện thú vị bắt đầu khi ta kết hợp nhiều vô cực với nhau. Chẳng hạn biểu thức vô cực trừ vô cực bằng bao nhiêu? Trực giác cho rằng ta trừ hai số lớn như nhau, nên kết quả bằng 0. Nhưng ở trên cũng đã nói: lấy vô cực trừ đi một số bất kì thì kết quả vẫn là vô cực. Ngược lại, lấy một số bất kì trừ đi vô cực thì được âm vô cực. Vậy giải quyết thế nào? Về lí thuyết, mọi kết quả đều có thể xảy ra. Toán học nói rằng biểu thức ∞ − ∞ không bằng một giá trị cụ thể nào, đó là một biểu thức không xác định, một dạng vô định. Tương tự như khi cố chia cho 0, việc đó đơn giản là không có nghĩa. Khi gặp một dạng vô định như vậy, ta phải biến đổi biểu thức theo cách nào đó (với một số dạng vô định có thể dùng chẳng hạn quy tắc L'Hôpital, đọc là “Lô-pi-tan”).
Các dạng vô định khác:
- ∞ − ∞
- ∞/∞
- 0/0
- 0 · ∞
- 00
- ∞0
- 1∞
Tuy vậy các quy tắc về dấu vẫn áp dụng, chẳng hạn −1 · ∞ bằng âm vô cực.
Muốn hoa mắt chóng mặt?
Thì hãy thử sức với lí thuyết tập hợp và tính xem tập hợp nào lớn hơn. Chẳng hạn tập các số chẵn hay tập các số lẻ lớn hơn? Tập các số chẵn hay tập các số tự nhiên? Tập các số tự nhiên hay tập các số nguyên? Tập các số chẵn hay tập các số nguyên? Tập các số tự nhiên hay tập các số hữu tỉ? Câu trả lời là tất cả đều lớn như nhau. Dù điều này có vẻ lạ (số nguyên chắc chắn phải nhiều hơn số lẻ chứ), đó là các tập hợp lớn như nhau. Còn tập các số thực thì lớn hơn tất cả các tập hợp vừa nêu. Đúng là rối tung cả lên ;-)