Số phức

Số phức là sự mở rộng của số thực. Trên tập số thực, ta thực hiện được hầu hết các phép toán quen thuộc như cộng, trừ, nhân và chia (trừ phép chia cho 0). Trên tập số thực cũng có thể khai căn bậc hai, nhưng chỉ với các số không âm. Đó là một lỗ hổng, chẳng hạn khi giải phương trình bậc hai mà biệt thức lại âm. Số phức lấp đầy lỗ hổng này.

Số phức là gì

Số phức khác các số thông thường chủ yếu ở chỗ gồm hai phần: phần thực và phần ảo. Số phức là một cặp số có thứ tự (x; y), trong đó số x là phần thực và số y là phần ảo. Nếu phần thực bằng 0 thì ta có số thuần ảo. Bản thân các số x và y là các số thực.

Tập số phức kí hiệu bằng chữ C in hoa: ℂ.

Hai số phức bằng nhau: khác với các số thông thường, số phức gồm hai thành phần. Vì vậy hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi cả hai thành phần tương ứng bằng nhau. Các số phức sau đây đôi một khác nhau: (2; 3) ≠ (0; 3) ≠ (2; 0). Hai số phức z₁ = (1; 2) và z₂ = (1; 2) bằng nhau: z₁ = z₂.

Dạng đại số và đơn vị ảo

Số phức thường được viết ở dạng đại số như sau. Số phức (x; y) có dạng đại số là x + yi, trong đó i gọi là đơn vị ảo. Bình phương của đơn vị ảo thoả mãn hệ thức rất quan trọng sau:

$$i^2=-1$$

Đẳng thức này sẽ được dùng thường xuyên, cùng với các luỹ thừa khác của đơn vị ảo. Các luỹ thừa bậc cao hơn tính được theo cách thông thường. Chẳng hạn, để rút gọn i³, theo quy tắc tính luỹ thừa có thể tách thành i² · i. Ta đã biết i² bằng âm 1. Thừa số còn lại không tách được nữa, nên ta được: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

Tương tự với i⁴. Có thể tách thành i² · i², trong đó i² = −1, nên ta được: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Vậy i⁴ = 1. Có thể dùng điều này khi tính các luỹ thừa bậc cao hơn nữa của đơn vị ảo. Chẳng hạn, để tính i⁷, ta tách thành i⁴ · i³. Vì i⁴ = 1 nên ta được: 1 · i³. Lại có i³ = −i. Kết quả là: 1 · (−i) = −i.

Phép cộng và phép nhân

Số phức có thể cộng và nhân với nhau. Khi cộng hai số phức z₁ và z₂, ta chỉ cần cộng riêng phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Ví dụ: z₁ = 3 + 7i và z₂ = 5 + 8i. Tổng của chúng là: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Tích của hai số phức phức tạp hơn một chút, nhưng có thể tính như phép nhân các biểu thức trong ngoặc thông thường. Công thức như sau:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Công thức này có từ đâu? Ta nhân z₁ · z₂ giống như nhân hai biểu thức trong ngoặc thông thường và được:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Vì i² = −1 nên sau khi biến đổi số hạng cuối, ta được:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

Cuối cùng, chỉ cần nhóm các số hạng không chứa đơn vị ảo và các số hạng chứa đơn vị ảo:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Ví dụ. Nhân hai số 5 + 6i và 4 + 7i. Ta được:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Số đối, số nghịch đảo và số phức liên hợp

• Số đối của số phức x + yi có dạng −x − yi. Giống như với số thực, ta được số đối bằng cách nhân số phức đã cho với âm 1. Ví dụ: số đối của 2 + 7i là −2 − 7i. Số đối của −5 + 8i là 5 − 8i, v.v.

• Số nghịch đảo của số phức x + yi có dạng $\frac{1}{x+yi}$. Như vậy số nghịch đảo của 4 − 2i là $\frac{1}{4-2i}$.

• Số phức liên hợp của số x + yi có dạng x − yi. Số phức liên hợp của z thường kí hiệu bằng gạch ngang phía trên như sau: $\bar{z}$, hoặc bằng dấu sao z*. Số phức liên hợp của 2 + 9i là 2 − 9i.

Phép trừ và phép chia

Khi đã có số đối và số nghịch đảo, ta có thể định nghĩa phép trừ và phép chia. Để trừ hai số phức, z₁ − z₂, ta cộng z₁ với số đối của z₂. Cụ thể, ta có công thức đơn giản:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Tương tự, phép chia z₁ / z₂ được đưa về phép nhân z₁ · z₂′, trong đó z₂′ là số nghịch đảo của z₂.

Môđun

Môđun của số phức z tính theo công thức:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(Trong căn thứ hai, $\bar{z}$ là số phức liên hợp của z.) Ý nghĩa của công thức này thấy rõ trong bài biểu diễn hình học của số phức.

Số phức có môđun bằng 1 đôi khi gọi là số phức đơn vị. Ví dụ về số phức có môđun bằng 1: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Tính chất của môđun:

• Môđun của một số phức là một số thực.
• |z| ≥ 0
• $|z|=|-z|=|\bar{z}|$, trong đó $\bar{z}$ là số phức liên hợp.