✖

Số đại số

Nếu một số là nghiệm của một đa thức nào đó với hệ số nguyên thì ta gọi số đó là số đại số. Điều này thực ra có nghĩa là gì? Có thể lấy một số bất kì và chơi với nó một trò chơi toán học như sau. Mục tiêu là đưa một số x nào đó về 0, nhưng chỉ được dùng phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép nâng lên luỹ thừa, và chỉ được dùng các số nguyên để biến đổi. Các ví dụ sẽ làm rõ điều này.

Bắt đầu với số 42. Biến đổi thế nào để được 0? Có thể lấy số đó trừ đi số nguyên 42 và được 0 (không được phép nhân với 0):

42−42=0

Vì đã đưa được số 42 về 0 nên số 42 là số đại số. Ví dụ này khá tầm thường. Còn một phân số, chẳng hạn 73, thì sao? Vì chỉ được dùng số nguyên nên không thể trừ đi 73 để được 0. Phải làm cách khác. Trước hết nhân phân số với 3:

3⋅73=3⋅73=7

Ta được một số nguyên, mà số nguyên thì đã biết cách đưa về 0: trừ đi 7. Như vậy có thể viết

3⋅73−7=0

và nói rằng phân số này cũng là số đại số. Xét một số phức tạp hơn: căn bậc hai của 2, tức 2. Không phép nhân hay phép cộng nào giúp được, trước hết phải khử dấu căn. Bình phương biểu thức:

(2)2=2

Ta được một số nguyên, đưa về 0 bằng cách trừ đi 2:

(2)2−2=0

Như vậy căn bậc hai của 2, vốn là một số vô tỉ, cũng là số đại số. Đến đây có vẻ như số nào ta thử cũng là số đại số. Còn số e thì sao? Số này cũng là số vô tỉ, tức là có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn, giống như căn bậc hai của 2. Giá trị gần đúng của nó là 2,71. Nhưng khác với căn bậc hai của 2, không có cách nào đưa số e về 0 bằng các phép toán đã cho phép. Dù cộng số e với một số nào đó, nhân nó với một số hay nâng nó lên luỹ thừa, ta vẫn luôn được một số vô tỉ khác. Vì vậy số e không phải là số đại số, tuyệt vời!

Tương tự, số pi (3,14) cũng không phải là số đại số.

Những số không phải là số đại số gọi là số siêu việt.

Định nghĩa chính xác hơn

Như vậy, với mỗi số đại số phải tồn tại một đa thức với hệ số nguyên nhận đúng số đại số đó làm nghiệm. Nghiệm của đa thức là số mà tại đó đa thức có giá trị bằng 0. Trở lại các ví dụ ở trên, với số 42 ta có phương trình

x−42=0

và vì đa thức x − 42 có nghiệm là x = 42 nên 42 là số đại số. Với số hữu tỉ 73 ta có phương trình

3x−7=0

vì đa thức 3x − 7 có nghiệm là x=73. Cuối cùng, với căn bậc hai của 2 ta có

x2−2=0

vì căn bậc hai của 2 là nghiệm của đa thức x2 − 2. Với số e hay số pi thì không thể lập được phương trình hay đa thức nào như vậy, vì đó là các số siêu việt chứ không phải số đại số.

Ví dụ về số đại số

  • Mọi số nguyên đều là số đại số.
  • Mọi số hữu tỉ (phân số) đều là số đại số.
  • Với số vô tỉ thì phức tạp hơn. Như đã thấy, một số số vô tỉ là số đại số, chẳng hạn căn bậc hai của 2, nhưng một số khác thì không, chẳng hạn số e.
  • Mọi căn bậc n của một số nguyên đều là số đại số.
  • Tỉ lệ vàng là số đại số.

Liên kết và tài liệu