✖

Số nguyên

Số nguyên là những số không có phần thập phân. Tập số nguyên gồm các số tự nhiên (kể cả số 0) và các số nguyên âm, tức là số đối của các số tự nhiên khác 0.

Tính chất

Những con số bay

Các số nguyên tạo thành một tập hợp gồm các số …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Tập hợp này thường kí hiệu bằng chữ Z có nét giữa kép: ℤ, lấy từ tiếng Đức “Zahlen” (các số). Tập số nguyên là tập vô hạn và đếm được.

Số nguyên có những tính chất sau:

  1. Tập số nguyên đóng đối với phép cộng và phép nhân, giống như tập số tự nhiên. Nghĩa là cộng hai số nguyên thì ta lại được một số nguyên.
  2. Khác với tập số tự nhiên, tập số nguyên còn đóng đối với phép trừ. Tập số tự nhiên không có tính chất này, vì hiệu của hai số tự nhiên có thể là một số âm. Với số nguyên thì điều đó không thành vấn đề, vì tập số nguyên chứa cả các số âm.
  3. Giống như tập số tự nhiên, tập số nguyên không đóng đối với phép chia: chia hai số nguyên vẫn có thể được một số không nguyên.
  4. Mỗi số nguyên c đều có số đối là −c. Với số 10, số đối là −10. Với 55, số đối là −55. Với số âm cũng vậy: số đối của −13 là 13. Tổng của một số nguyên c và số đối −c của nó bằng 0: c + (−c) = 0. Vì vậy số đối của 0 là chính số 0.

Số chẵn và số lẻ

Các số nguyên chia thành số chẵn và số lẻ. Số chẵn là những số chia hết cho 2, chẳng hạn 2, −4, −8, 40, 124, v.v. Số lẻ là những số chia cho 2 dư 1, chẳng hạn −1, 1, 5, 19, −41, v.v. Lưu ý rằng số âm cũng được phân thành chẵn và lẻ (số −5 là số lẻ), và số 0 là số chẵn.

Tính chất đối với phép cộng: cộng hai số chẵn thì được một số chẵn. Các trường hợp khác cho trong bảng sau:

chẵn+chẵn=chẵnchẵn+lẻ=lẻlẻ+lẻ=chẵn

Bảng tương tự cho phép nhân:

chẵn⋅chẵn=chẵnchẵn⋅lẻ=chẵnlẻ⋅lẻ=lẻ

Phép chia có dư

Trên tập số nguyên, tương tự như với số tự nhiên, ta cũng có thể định nghĩa phép chia có dư, chỉ cần xử lí thêm các số âm. Định nghĩa lần này như sau:

a=q⋅b+r,a,q∈Z,b∈Z−{0},0≤r<|b|

Trong biểu thức này, ta chia a:b, số q là thương và số r là số dư. Số b phải khác 0 vì không thể chia cho 0. Số dư phải không âm và nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của b; điều kiện này bảo đảm thương và số dư được xác định duy nhất.

Phép chia như vậy diễn ra thế nào? Thử chia −21:4. Khi đó:

−21=−6⋅4+3

Thương là −6 và số dư là 3. Có thể bạn sẽ ngạc nhiên vì kết quả khác với trường hợp tất cả các số đều dương:

21=5⋅4+1

Ở đây thương là 5 và số dư là 1. Sự khác nhau nằm ở các số âm. Với số dương, trước hết ta tìm số lớn nhất không vượt quá 21 và chia hết cho 4. Đó là số 20. Chia 20:4 = 5, ta được thương là 5. Số dư là hiệu 21 − 20.

Với số âm, ta làm hoàn toàn tương tự: tìm số lớn nhất không vượt quá −21 và chia hết cho 4. Nhưng số −20 lại lớn hơn −21. Vì vậy số lớn nhất không vượt quá −21 và chia hết cho 4 là số −24. Số dư lại là hiệu −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

Bài viết liên quan

Liên kết