Vì sao 0,999… bằng 1

Số 0,999…, sau dấu phẩy có vô số chữ số 9, bằng 1. Không phải xấp xỉ, không phải “gần bằng”, mà bằng đúng 1. Phần lớn mọi người lúc đầu không tin điều này, và những cuộc tranh cãi về con số này thuộc loại tranh cãi về toán học phổ biến nhất trên mạng. Bài này trình bày một số cách chứng minh và cuối cùng giải thích vì sao trực giác cứ mách bảo điều ngược lại.

Giống như mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn, số này có thể viết với gạch ngang trên chữ số lặp lại (sách giáo khoa Việt Nam viết 0,(9)):

$0, \overset{―}{9} = 1$

Qua một phần ba

Ta bắt đầu từ một phân số không làm ai băn khoăn. Chia 1 cho 3, ta được một số thập phân vô hạn tuần hoàn:

$\frac{1}{3} = 0,333 \dots$

Bây giờ nhân cả hai vế của đẳng thức với 3. Vế trái bằng

$3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1.$

Ở vế phải, ta nhân từng chữ số 3 một. Vì 3 · 3 = 9 và không có lần nhớ nào sang hàng cao hơn, nên

$3 \cdot 0,333 \dots = 0,999 \dots$

Hai vế trái bằng nhau, nên hai vế phải cũng phải bằng nhau: 1 = 0,999… Ai đã chấp nhận 0,333… là một phần ba thì cũng không thể bác bỏ điều này.

Qua phép nhân với 10

Cách làm này đã xuất hiện trong bài số hữu tỉ, nơi cũng chính cách này được dùng để đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số. Gọi số cần xét là a:

$a = 0, \overset{―}{9}$

Nhân với 10. Dấu phẩy dịch sang phải một chữ số, còn phía sau nó vẫn có vô số chữ số 9:

$10 a = 9, \overset{―}{9}$

Trừ đi a, tất cả các chữ số 9 sau dấu phẩy triệt tiêu nhau:

$9 a = 9$

Chỉ còn chia cho 9:

$a = 1$

Hiệu bằng bao nhiêu?

Nếu 0,999… và 1 khác nhau thì hiệu của chúng phải là một số dương nào đó. Ta thử tìm số đó. Trước hết, chỉ lấy hữu hạn chữ số 9:

$\begin{array}{rcl} 1 - 0, 9 & = & 0, 1 \\ 1 - 0, 99 & = & 0, 01 \\ 1 - 0,999 & = & 0,001 \end{array}$

Mỗi chữ số 9 thêm vào làm hiệu nhỏ đi 10 lần. Ở trên cùng của hình là trục số từ 0 đến 1, có điểm màu xanh dương tại 0,9 và đoạn màu đỏ là phần còn thiếu để đến 1. Mỗi trục số tiếp theo phóng to đoạn này lên 10 lần, vì vậy các điểm màu xanh dương lần lượt nằm tại 0,9, 0,99 và 0,999:

Phần còn thiếu để đến 1 của các số có một, hai và ba chữ số 9, mỗi lần phóng to 10 lần

Chọn một số dương nhỏ tuỳ ý, chẳng hạn một phần tỉ: với đủ nhiều chữ số 9, hiệu sẽ còn nhỏ hơn số đó. Nhưng trong 0,999… thì tất cả các chữ số 9 đều có mặt cùng lúc, vô số chữ số, nên hiệu phải nhỏ hơn mọi số dương. Thế nhưng không có số dương nào nhỏ hơn mọi số dương, vì khi đó nó phải nhỏ hơn cả một nửa của chính nó. Vậy hiệu chỉ có thể bằng 0.

Một phản bác thường gặp là hiệu bằng 0,000…01, tức là vô số chữ số 0 và cuối cùng là chữ số 1. Nhưng một dãy vô hạn chữ số 0 thì không có chỗ kết thúc, nên không có chỗ nào để viết chữ số 1 đó.

Giữa hai số không có số nào

Giữa hai số thực khác nhau bất kì luôn có một số khác, chẳng hạn trung bình cộng của chúng. Giữa 0,5 và 0,6 có 0,55, giữa 0,5 và 0,55 có 0,525. Điều này đúng với mọi cặp số khác nhau, dù chúng gần nhau đến đâu: trung bình cộng của chúng luôn nằm giữa hai số.

Vậy số nào nằm giữa 0,999… và 1? Số đó phải lớn hơn 0,999… và đồng thời nhỏ hơn 1, nên phải bắt đầu bằng 0 và dấu phẩy. Khi đó ít nhất một chữ số sau dấu phẩy của nó phải lớn hơn 9, mà chữ số như vậy không tồn tại. Giữa hai số không có số nào, nên hai số bằng nhau.

Tổng vô hạn

Cách viết thập phân thực chất là một tổng: 0,999… nghĩa là 9 phần mười cộng 9 phần trăm cộng 9 phần nghìn, cứ thế tiếp tục:

$0,999 \dots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \dots$

Mỗi số hạng bằng một phần mười số hạng trước nó, nên ta đang cộng các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu $a_{1} = \frac{9}{10}$ và công bội $q = \frac{1}{10}$ . Công bội có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, nên tổng vô hạn có giá trị hữu hạn, tính theo công thức

$S = \frac{a_{1}}{1 - q} .$

Thay số vào:

$S = \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1$

Nói chính xác, tổng của một chuỗi vô hạn là giới hạn của các tổng những số hạng đầu tiên của nó, tức là giới hạn của dãy số 0,9; 0,99; 0,999; … Dãy số này dần tới 1, và cách viết 0,999… chính là kí hiệu của giới hạn đó. Các cách chứng minh trước cũng dựa trên điều này.

Vì sao ta không muốn tin

Trực giác nhầm lẫn “rất nhiều chữ số 9” với “vô số chữ số 9”. Số 0,999 với ba chữ số 9 đúng là nhỏ hơn 1, số có một triệu chữ số 9 cũng vậy. Nếu in ra, số đó sẽ chiếm vài trăm trang giấy, vậy mà vẫn còn thiếu một chút mới đến 1. Nhưng $0, \overset{―}{9}$ không phải là rất nhiều chữ số 9 rồi dừng lại ở đâu đó. Các chữ số 9 không bao giờ dừng, vì vậy số này không thiếu gì cả.

Ta cũng thường hình dung 0,999… như một quá trình: các chữ số 9 cứ được viết thêm và số đó cứ nhích dần đến 1. Nhưng một con số không di chuyển. Tất cả các chữ số 9 đều có mặt ngay từ đầu, và giá trị của số không thay đổi.

Trở ngại thứ hai là ý nghĩ một số lại có hai cách viết khác nhau. Nhưng điều này đã quen thuộc với phân số:

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{50}{100} = 0, 5$

Và giống như một nửa có thể viết bằng nhiều phân số khác nhau, số 0,5 còn có một cách viết thập phân khác:

$0, 5 = 0,499 9 \dots$

Mọi số khác 0 có biểu diễn thập phân hữu hạn đều có hai cách viết, chẳng hạn 0,25 = 0,24999… hay 7 = 6,999… Đây không phải là hai số, mà là một số dưới hai hình thức.

Xem thêm

« Bài trước: Số hữu tỉ

Bài tiếp: Số vô tỉ »