Комутативност

Комутативността (разместителният закон) е свойство на операции като например събирането. Можем да забележим, че при събирането редът няма значение, така че 3 + 5 е същото като 5 + 3. Каквито и две реални числа да съберем a + b, резултатът ще е същият, дори да разменим събираемите: b + a. Ако някоя операция удовлетворява това условие, казваме за нея, че е комутативна.

Пример за друга операция, която е комутативна, е умножението, защото 2 · 6 има същия резултат като 6 · 2 и същото важи за всеки две числа a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Пример за операция, която не е комутативна, е изваждането, защото 7 − 4 е нещо различно от 4 − 7. В първия случай получаваме резултат 3, във втория случай получаваме −3. Друг пример е делението, защото 2 / 5 е нещо различно от 5 / 2.

Внимавай обаче с други свойства на операциите, например с приоритета на умножението. Ако имаме израза 1 + 2 · 3, не можем да си кажем, че това е същото като 2 + 1 · 3. Умножението има приоритет пред събирането. Можем да си помогнем със скоби: изразът 1 + 2 · 3 е същият като 1 + (2 · 3). Ако искаме да приложим закона за комутативност на събирането, можем, но трябва да вземем със себе си цялата скоба: 1 + (2 · 3) е равно на (2 · 3) + 1 и това е равно на (3 · 2) + 1, ако приложим още и комутативността на умножението.

Операции с множества и комутативност

Комутативни могат да са не само операции с числа, но например и операции с множества. Например сечението на множества A и B е комутативна операция. Сечението на две множества се състои от „елементите, които се намират и в двете множества“, т.е.

$$A\cap B=B\cap A$$

Съвсем същото ще важи при обединението на множества A и B, чийто резултат са „елементите, които се намират поне в едно от множествата“, следователно:

$$A\cup B=B\cup A$$

Комутативна не е например разликата на множества.

Вектори

Една от другите комутативни операции можем да намерим сред операциите с вектори и това е събирането на вектори – по правило събирането в повечето случаи е комутативна операция. В този случай, ако имаме два вектора $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$, е изпълнено, че

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Графично това показва следната фигура:

Сборът $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ показва „горният път“, при който първо прилагаме червения вектор $\overrightarrow{u}$ и едва след това синия вектор $\overrightarrow{v}$. Сборът $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ показва „долният път“, първо вървим по пътя на синия вектор $\overrightarrow{v}$ и после на червения вектор $\overrightarrow{u}$. Резултатът обаче е един и същ, векторите завършват в една и съща точка.

Можеш да си го представиш, все едно си тръгнал от някакво място и си вървял петдесет метра на север и после двадесет метра на запад. Ако първо беше вървял двадесет метра на запад и после петдесет метра на север, щеше да стигнеш до същото място. Такова вървене следователно е комутативно.

Логика

Към комутативните операции спадат и логическите операции „и“ (конюнкция) и „или“ (дизюнкция). Това означава, че съждението „числото 5 е нечетно и е просто“ има същата истинност като съждението „числото 5 е просто и е нечетно“. Подобно при дизюнкцията: „числото 6 е просто или е четно“ има същата истинност като съждението „числото 6 е четно или е просто“.

Комутативна обаче не е импликацията, т.е. съждението „ако спечеля в тото 6 от 49, ще стана богат“ не е същото като „ако стана богат, ще спечеля в тото 6 от 49“.