Indledende eksempler på differentiation

I denne artikel viser vi først nogle nyttige formler til regning med afledede funktioner og prøver derefter at differentiere nogle funktioner — både simple og komplicerede. Hvis du ikke leder efter løste eksempler, men har brug for en forklaring af definitionen af differentialkvotienten, så gå til artiklen differentialkvotient og afledet funktion.

Differentiation af polynomier

Først nævner vi nogle formler, som vi får brug for, når vi skal differentiere funktioner på formen polynomium. I venstre side er den elementære funktion, som vi vil differentiere, og i højre side er den resulterende funktion efter differentiationen. For en god ordens skyld: c er en konstant (allerede i den første linje er der altså en konstant funktion), og vi differentierer med hensyn til x.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c\cdot x^{c-1}\end{array}$$

Nogle konkrete eksempler:

$$f(x)=5$$

Dette er en konstant funktion, vi anvender altså den første formel og får:

$$f^{\prime }(x)=0.$$

Den lineære funktion f(x) = x har ifølge den anden formel den afledede

$$f^{\prime }(x)=1,$$

der er ikke mere at undersøge ved den. Derfor prøver vi at differentiere funktionen

$$f(x)=x^5.$$

Vi anvender den sidste formel, hvor vi for c indsætter eksponenten, altså c = 5.

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

Formlen ville også virke for en negativ eksponent, så hvis vi vil differentiere funktionen

$$f(x)=x^{-7},$$

får vi:

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Til de videre øvelser får vi brug for formler til addition og multiplikation af funktioner. Og hvis vi ud fra en differentieret funktion vil have den oprindelige funktion tilbage, bruger vi integraler.

Differentiation af en sum

Hvis vi vil beregne den afledede af en funktion, der indeholder nogle led i en sum, beregner vi simpelthen de afledede af de indre led og lægger delresultaterne sammen. Vi skriver det sådan:

$$(f_1(x)+f_2(x){)}^{\prime }=f_1^{\prime }(x)+f_2^{\prime }(x)$$

Et simpelt eksempel, lad os have funktionen f(x) = x + 5. Den afledede af denne funktion bliver:

$$f^{\prime }(x)=x^{\prime }+5^{\prime }=1+0=1.$$

Vi opdelte funktionen i to funktioner, sådan her:

$$\begin{array}{rcl}{f}_1(x)& =& x\\ f_2(x)& =& 5\end{array}$$

og indsatte blot i formlen. Vi beregnede altså de afledede af funktionerne f₁ og f₂ og lagde resultaterne sammen. Det virker identisk for subtraktion. Et mere kompliceret eksempel:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Igen differentierer vi blot de tre led hver for sig og lader dem stå i en sum:

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+x^{\prime }-8^{\prime }=3x^2+1+0$$

Differentiation af et produkt

Et produkt løses desværre ikke så simpelt som almindelig addition, til et produkt af to funktioner må vi bruge en let kompliceret formel:

$$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

En triviel funktion, som indeholder multiplikation, er for eksempel funktionen

$$s(x)=5\cdot x^2$$

I formlen for multiplikation har vi to funktioner, dem får vi ud af denne ene funktion s(x) på følgende måde: f(x) = 5 og g(x) = x². Nu skal vi bare indsætte:

$$s^{\prime }(x)=5^{\prime }\cdot x^2+5\cdot (x^2{)}^{\prime }=0\cdot x^2+5\cdot 2x=10x$$

Vi ser, at hvis vi har en funktion på formen

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

så får vi efter differentiationen

$$(a\cdot x^c{)}^{\prime }=a\cdot (x^c{)}^{\prime }=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Denne regel kan vi yderligere generalisere, og i stedet for et polynomium kan vi indsætte en vilkårlig funktion. Så for en vilkårlig funktion f(x) gælder

$$(a\cdot f(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x).$$

Som eksempel prøver vi at differentiere denne funktion:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

I begyndelsen af differentiationen anvender vi først reglen for en sum:

$$f^{\prime }(x)=(5x^3{)}^{\prime }-(7x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Leddene i produktet skriver vi ud efter den sidst nævnte formel:

$$=5(x^3{)}^{\prime }-7(x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Vi differentierer udtrykkene i parentesen efter reglen for differentiation af x^c.

$$=5\cdot 3x^2-7\cdot 2x+0=$$

Og til sidst ganger vi blot koefficienterne:

$$=15x^2-14x.$$

Differentiation af en kvotient

Differentiation af en kvotient er igen en smule mere kompliceret end differentiation af et produkt. Formlen:

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

Men ellers er fremgangsmåden analog med den ved et produkt. Så her er straks et eksempel:

$${\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)}^{\prime }=$$

Tælleren i brøken er funktionen f(x), nævneren er funktionen g(x). Og nu skal vi bare indsætte i formlen:

$$=\frac{(x^2+3x+1{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}=$$

I nævneren har vi nævneren opløftet i anden, og i tælleren har vi brøken skrevet ud efter formlen. Nu differentierer vi den første og den sidste parentes. Igen har vi dér reglen for en sum, den springer jeg over og skriver resultatet direkte:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1{)}^2}=\dots$$

Dette udtryk kan vi stadig forenkle på en eller anden måde, men det er ikke afgørende i dette afsnit.

Differentiation af elementære funktioner

Nu angiver vi, uden yderligere udledning, nogle formler til beregning af den afledede af almindelige funktioner.

Potenser og logaritmer:

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln a};a>0\wedge a\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Trigonometriske funktioner:

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\tan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\cot x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\end{array}$$

Et simpelt eksempel:

$$(3\sin x+2\ln x{)}^{\prime }=$$

Begge udtryk står i en sum, så det er nok, at vi lægger de afledede af de to givne udtryk sammen. Hvert udtryk indeholder i begyndelsen en konstant, som multiplicerer funktionen efter sig — vi ved, at det på dette tidspunkt er nok bare at differentiere funktionen og lade konstanten stå uændret. Det gør vi:

$$=3(\sin x{)}^{\prime }+2(\ln x{)}^{\prime }=$$

Dette er allerede tabelværdier:

$$=3\cos x+2\frac{1}{x}=3\cos x+\frac{2}{x}.$$

Differentiation af en sammensat funktion

Af differentialkvotientens egenskaber og af dens anvendelse ved funktionsundersøgelse ved vi, at vi under visse betingelser kan have to funktioner, som er differentiable, og ved at sammensætte dem får vi igen en funktion, som er differentiabel. Vi viser, hvordan man beregner den afledede af en sådan sammensat funktion.

Differentiation af en sammensat funktion er nok det sværeste begreb af disse grundlæggende differentiationer. Funktioner som sådan kan vi sammensætte. Hvad en sammensat funktion er, kan du læse nærmere om i artiklerne Hvad er en funktion eller Funktionens definitionsmængde. Groft sagt betyder det, at vi som argument til én funktion giver en anden funktion. Den symbolske skrivemåde ville se sådan ud: h(g(x)). En konkret funktion kan for eksempel være

$$f(x)=\sin (2x).$$

Hvilke to funktioner er der dér? Sinus og så den indre funktion 2x. På denne funktion f kan vi ikke bare anvende den generelle formel for sin(x), fordi den regner med, at den får x som argument og ikke 2x. Beregningen af den afledede af en sammensat funktion foregår altså sådan her:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Vi differentierer altså den ydre funktion og lader den beholde det samme argument og multiplicerer det med den differentierede indre funktion. I tilfældet med dette eksempel med sinus ville der gælde:

$$(\sin (2x){)}^{\prime }={\sin }^{\prime }(2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=$$

Mærket kun ved sinus betyder, at vi nu kun differentierer selve sinus, vi differentierer ikke hele udtrykket som i udtrykket på venstre side af ligningen. Så den afledede af sinus er cosinus, så i stedet for sinus skriver vi bare cosinus. Og den afledede af 2x er 2:

$$=\cos (2x)\cdot 2=2\cos (2x).$$

Endnu et eksempel, lidt mere kompliceret.

$$(\cos (\ln x^2){)}^{\prime }=$$

Her har vi en indre funktion mere. Den ydre funktion er cosinus, den mellemste er logaritmen, og den inderste er potensen x². Vi går dog igen frem efter formlen. Vi skriver det ud:

$$={\cos }^{\prime }(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Vi differentierer kun cosinus, argumentet til cosinus lader vi være, som det er, dvs. vi lader hele logaritmen stå. Hele dette udtryk multiplicerer vi så med den afledede af argumentet, dvs. med den afledede af logaritmen. Vi differentierer cosinus og har:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Udtrykket til højre har ikke ændret sig, vi har bare differentieret cosinus. Nu går vi i gang med at differentiere logaritmen. Igen er det en sammensat funktion, så vi anvender rekursivt formlen for en sammensat funktion. Det venstre udtryk skriver vi bare af:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot {\ln }^{\prime }{x}^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=$$

Vi differentierer logaritmen og lader dens argument være det samme, dvs. x². Men hele udtrykket multiplicerer vi desuden med den afledede af argumentet, dvs. netop med den afledede af x². Den afledede af logaritmen er brøken 1/x, hvor vi for x indsætter vores argument x², og den afledede af x² er 2x.

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{1}{x^2}2x=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{2}{x}=-\frac{2\sin (\ln x^2)}{x}.$$