Funktionens definitionsmængde

Definitionsmængden for en funktion er alle de tilladte værdier, som vi kan indsætte for argumentet x i funktionen f(x), så funktionen giver mening.

Hvad er definitionsmængden for en funktion

Et simpelt eksempel kan være funktionen f(x) = 1/x. Definitionsmængden er mængden af alle tilladte værdier, som, når vi indsætter dem i funktionen 1/x, giver et gyldigt udtryk.

For at vide, hvad der er et »gyldigt udtryk«, skal vi kende egenskaberne ved funktioner og operationer. I vores funktion dividerer vi med variablen x, variablen x står i brøkens nævner. Hvilke værdier kan vi dividere med? Alle undtagen nul. Man kan ikke dividere med nul, og nul må derfor heller ikke stå i brøkens nævner. Division har ingen anden begrænsning.

Derfor kan vi for x indsætte et vilkårligt reelt tal undtagen nul. Definitionsmængden er altså: Dm(f) = ℝ ∖ {0}. Definitionsmængden betegner vi normalt med bogstaverne Dm, og i parentesen skriver vi den funktion, hvis definitionsmængde vi beregner.

Nu har vi beregnet den største definitionsmængde. Men fordi vi har defineret definitionsmængden som en mængde af værdier, som vi kan indsætte for x, gælder det, at enhver delmængde af definitionsmængden igen vil være en definitionsmængde. Nogle gange kan det være praktisk at begrænse funktionen til kun nogle x. For eksempel begrænser vi os i talfølger kun til naturlige tal, i trigonometri regner man ofte kun med intervallet [0; 2π].

Hvis vi imidlertid har en opgave, hvor definitionsmængden for en funktion skal bestemmes, forudsætter man som regel, at du skal bestemme den størst mulige definitionsmængde.

Definitionsmængden kan vi også aflæse af funktionens graf. Som eksempel tager vi grafen for den foregående funktion f(x) = 1/x.

Hvis du projicerer grafen ned på x-aksen, får du definitionsmængden. Hvis et punkt x ikke er et element i definitionsmængden, så vil en lodret linje gennem dette punkt vinkelret på x-aksen ikke skære noget punkt på grafen. Vi ser, at kun nul opfylder denne betingelse — det har »hverken over eller under sig« noget punkt fra funktionens graf. Alle de andre har.

Beregning af definitionsmængden

For at beregne definitionsmængden for en sammensat funktion skal du kende definitionsmængderne for alle de funktioner, som den sammensatte funktion er sammensat af. Ellers går det ikke. Hvis jeg bad dig beregne definitionsmængden for funktionen f(x) = et(x) + to(x), ville du ikke klare det, fordi du ikke ved, hvordan funktionerne et og to er defineret. Vi viser definitionsmængderne for nogle elementære funktioner:

• Logaritmen har Dm(f) = ]0; ∞[.
• Kvadratroden har Dm(f) = [0; ∞[.
• Tangens har Dm(f) = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• Cotangens har Dm(f) = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• Eksponentialfunktionen har Dm(f) = ℝ.
• Lineære funktioner og andengradspolynomier har Dm(f) = ℝ.

Hvis der kun er givet én funktion, er det meget enkelt. Vi finder simpelthen ud af, hvilken definitionsmængde den funktion har, ser på argumentet og indsætter det så passende i (u)ligningen. Altså et eksempel — bestem definitionsmængden for funktionen log(3x + 2). Logaritmens argument skal være positivt, derfor skal det gælde, at 3x + 2 > 0. Det er en lineær ulighed, som vi simpelthen løser:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Definitionsmængden er alle de x, der opfylder denne ulighed, så Dm(f) = ]−2/3; ∞[.

Beregn definitionsmængden for $\sqrt{2x+8}$.

Under kvadratroden må der ikke stå et negativt tal, så vi løser uligheden 2x + 8 ≥ 0, hvilket giver resultatet:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Så Dm(f) = [−4; ∞[.

Beregn definitionsmængden for 1/x².

I nævneren må der ikke stå nul, så vi løser ligningen x² ≠ 0. Det gælder, når x ≠ 0, så Dm(f) = ℝ ∖ {0}.

Opdeling af sammensatte funktioner

Ved sammensatte funktioner er situationen allerede en smule mere kompliceret, fordi vi skal tage højde for flere funktioner, der påvirker hinanden og efterhånden indskrænker deres definitionsmængde. Lad os tage dette eksempel:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Her skal to betingelser gælde. Udtrykket under kvadratroden skal være større end eller lig med nul, det må ikke være negativt. Derfor x ≥ 0. Men kvadratroden står i brøkens nævner, så det skal gælde, at kvadratroden ikke må give nul, for så ville brøken igen ikke give mening. Det foregående udsagn skærper vi derfor til x > 0.

På samme måde går vi frem i de øvrige eksempler. Det vigtige er dog at bestemme rækkefølgen af de indlejrede funktioner — vi skal finde ud af, hvilken funktion der er den indre, og hvilken der er den ydre. I det foregående eksempel var det tydeligt — den indre funktion var kvadratroden og den ydre brøken. Hvis vi ville regne udtrykket ud i hånden, ville vi først tage kvadratroden af argumentet x, og først derefter ville vi beregne brøken. Det er en ret god huskeregel — den inderste funktion er den, du ville begynde at regne med, hvis du regnede i hånden. Endnu et eksempel:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\text{tan}(x)){)}^3}$$

Nu kan vi vælge den modsatte tilgang. Vi leder efter de ydre funktioner. Den ydre funktion »pakker« de indre funktioner ind. Her pakker femteroden helt åbenlyst alle de øvrige funktioner ind. Videre pakker tredje potens resultatet af logaritmen ind, logaritmen pakker tangens ind, og endelig pakker tangens variablen x ind. Enkelt. Med den tidligere metode kan vi tage det sådan: Når vi kender værdien af x, anvender vi den først på tangens. Det er altså den inderste funktion. Dette resultat anvender vi på logaritmen — det er altså den næstinderste funktion. Dette resultat anvender vi igen på potensen, og til sidst tager vi roden.

Opdel den sammensatte funktion:

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Vi starter med den ydre funktion. Det er sinus. Derefter følger en brøk, så logaritmen, så eksponentialfunktionen (forestil dig denne substitution: 10^a) og til sidst den lineære funktion 2x + 3.

Opdel den sammensatte funktion:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Den ydre funktion er eksponentialfunktionen 2^a. Derefter er der en brøk og så i brøkens nævner en kvadratrod og til sidst den lineære funktion 3x.

Definitionsmængde for sammensatte funktioner

Hvis du kan opdele funktioner i ydre og indre, kan det ikke være noget problem for dig at bestemme definitionsmængden. Vi viser det lige på et eksempel:

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

Vi starter med brøken. For den skal gælde, at nævneren er forskellig fra nul. Det skriver vi op:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

Af egenskaberne ved funktionen sinus ved vi, at den når værdien 1 i punktet x = π/2. Fordi den er en periodisk funktion, får vi mængden M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Det er den mængde af værdier, hvor nævneren bliver lig med nul. Disse x kan vi ikke indsætte i vores funktion.

Men det er ikke alt, vi skal også se på definitionsmængden for funktionen sinus. Den er heldigvis lig med ℝ, så den begrænser os slet ikke. Begrænsningen kommer kun fra brøkens nævner. Så Dm(f) = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.