Division af tal
Division af tal er den omvendte proces til multiplikation af tal. Division er samtidig en god kilde til humor, for som alle ved, kan vi ikke dividere med nul, fordi vores regnehæfte ville brænde op.
Hvad er division af tal
Division kan vi forestille os som at dele en stor helhed op i lige store mindre stykker. Vi kan have en far, som skal save en planke på 100 cm op i fem lige store stykker. Hvor store bliver de enkelte stykker?
Vi kan gå den modsatte vej — hvis vi lægger længderne af alle fem afsavede stykker sammen, skal vi få tallet 100 tilbage. Hvilket tal opfylder det? Det er tallet 20, fordi 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. I stedet for addition kan vi også bruge multiplikation. Vi kan spørge, hvilket tal der giver hundrede, når det ganges med fem? Igen tallet 20, fordi 5 · 20 = 100.
Grafisk kunne vi udtrykke det som at dele et linjestykke af længde 100 i fem lige lange dele:
Når vi vil dividere tallet 100 med tallet 5, finder vi ud af, »hvor mange gange fem går op i hundrede«. Division skriver vi enten med en skråstreg: 100 / 5 eller med et kolon: 100 : 5. Resultatet af en division af to tal er kvotienten. I vores eksempler er tallet 20 kvotienten af tallene 100 og 5. Tallet til venstre kaldes dividenden, tallet til højre divisoren. Division kan vi også skrive som en brøk: i stedet for 100 / 5 kan vi skrive
- a kaldes dividenden,
- b kaldes divisoren,
- c kaldes kvotienten.
Definition ved hjælp af multiplikation
Kvotienten kan vi nemmest definere ved hjælp af multiplikation. Som eksempel tager vi kvotienten af disse tal: 35 / 7. Hvad bliver resultatet? Vi søger et tal, der giver tallet 35, når vi ganger det med 7. Hvis vi dividerede 48 / 8, ville vi søge det tal, som giver tallet 48, når det ganges med 8.
Resultatet af 35 / 7 er altså tallet 5, fordi 7 · 5 = 35. Resultatet af 48 / 8 er tallet 6, fordi 8 · 6 = 48.
Hvis vi generelt dividerer a / b, er resultatet tallet c, for hvilket der gælder b · c = a.
Selvom vi har vist alle eksemplerne på naturlige tal, kan vi takket være definitionen ved hjælp af multiplikation også dividere alle andre tal. Vi kan for eksempel finde kvotienten −85,76 / 6,7 ved at finde tallet x, for hvilket der gælder 6,7 · x = −85,76. Det gælder for x = −12,8.
Nul kan vi dividere med et andet tal
Nul kan vi dividere med et tal, dette er et gyldigt udtryk: 0 / 15. Vi siger i bund og grund, at vi vil dele nul op i 15 lige store dele. Vi kan forestille os, at vi ikke har nogen lagkage, og at vi vil dele denne lagkage, som vi ikke har, op i 15 dele — hvor store bliver de enkelte dele? De bliver nul, fordi vi simpelthen ikke har nogen lagkage. Eller forestil dig, at du har nul kroner i pungen, og at du vil dele disse nul kroner mellem tre børn. Hvor meget får hvert barn? Det får ingenting, for du har simpelthen ingenting. Derfor er 0 / 15 = 0.
Nul kan vi dividere med et andet tal, men vi kan ikke dividere et andet tal med nul. Dette udtryk er ugyldigt: 8 / 0.
Men hvorfor kan vi ikke dividere med nul?
Vi kan ikke dividere med nul, fordi det ellevte bud forbyder os det.
Men der findes også mere overbevisende grunde. Indtil videre interesserer vi os for tilfældet, hvor dividenden er forskellig fra nul — divisionen har formen a / 0, hvor a ≠ 0. Vi nævner to grunde:
- Lad os blive ved analogien med at dele en helhed op i mindre, lige store dele. Vi har 15 af de allersejeste Pokémon. Nu vil vi dele dem mellem nul børn. Hvor mange Pokémon får hvert barn?
Øh???
Ja, du læser opgaven rigtigt, og ja, den giver ingen mening. Vi kan ikke spørge, hvor mange Pokémon hvert barn fik, når vi ikke havde noget barn, som vi kunne give Pokémonerne til. Derfor giver heller ikke division med nul mening, og derfor siger vi, at udtrykket x / 0 er udefineret.
- Division indførte vi ved hjælp af multiplikation. Når vi forsøger at dividere med nul, 15 / 0, søger vi et tal x, for hvilket der gælder x · 0 = 15. Men alt gange nul er nul, vi finder aldrig et x, for hvilket denne ligning giver mening.
Og hvad med kvotienten 0/0?
Den er udefineret ligesom x / 0. Grunde:
Denne gang har vi nul af de allersejeste Pokémon, som vi vil dele mellem nul børn. Det er igen et meningsløst krav.
Ifølge definitionen af division søger vi, når vi dividerer 0 / 0, et tal x, for hvilket der gælder x · 0 = 0. Vi ville finde en løsning, eller mere præcist: ethvert reelt tal er en løsning af denne ligning. Uanset om vi indsætter 4, 1 eller π for x, er ligningen opfyldt. Det er naturligvis uacceptabelt, at resultatet af en division skulle være hele mængden af reelle tal, det giver ingen mening.
Vi ville være nødt til at vælge ét bestemt tal ud af hele mængden og sige, at netop dette tal er resultatet af divisionen 0 / 0. Men hvilket? Skulle det være lig med en? Otte? Nul? Minus en? Og hvorfor? Lad os prøve at fremføre argumenter for nul og for en:
- Vi ved, at hvis vi har en brøk af formen x / x, så er denne brøk lig med en. For eksempel 7 / 7 = 1 eller 3 / 3 = 1. Heraf kunne vi udlede, at vi skulle definere 0 / 0, så der gælder 0 / 0 = 1.
- Lad os se på denne følge af brøker, som helt sikkert er gyldige. I hver af dem dividerer vi nul med et tal, som kommer tættere og tættere på nul:
Vi ser, at uanset hvor tæt på nul det tal, vi dividerer med, er, får vi stadig nul som kvotient. Heraf kunne vi udlede, at 0 / 0 = 0.
Begge disse argumenter er gyldige for, hvordan vi kunne definere kvotienten 0 / 0. Men hvilket af dem er bedst? Selv hvis vi valgte det ene og erklærede det for det eneste gyldige, ville vi alligevel komme i modstrid med andre dele af matematikken.
Derfor lader man hellere division med nul være udefineret.
Det endelige argument mod division med nul
Hvis de foregående argumenter ikke er nok for dig, så overbeviser følgende fotodokumentation dig forhåbentlig. Den viser et tilfælde, hvor nogen virkelig forsøgte at dividere med nul:
