Addition og subtraktion
Addition og subtraktion er de mest grundlæggende regneoperationer, som man også har brug for i hverdagen. Selvom vi kan lægge mange forskellige strukturer sammen, ser vi her kun på addition af hele tal.
Addition
Addition betegnes med plustegnet +. Når vi adderer, lægger vi led sammen, så hvis vi vil beregne 2 + 3, kaldes både 2'eren og 3'eren for et led. Resultatet kalder vi summen, altså er 5'eren i udtrykket 2 + 3 = 5 summen.
Vi kan lægge stort set alle tal sammen, hvad enten det er naturlige tal som 1, 5, 157, eller negative tal som -4, -74. Vi kan også lægge rationale tal, altså brøker, sammen, reelle tal som for eksempel π og til sidst også komplekse tal. Vi kan endda lægge andre strukturer sammen — matricer eller vektorer.
Addition forklares som regel med en bunke æbler — hvis du har tre æbler i kurven, og en anden giver dig fire æbler mere, hvor mange har du så? Du har 3 + 4 = 7.
Sådan lægger du store tal sammen
Hvis jeg bad dig om at lægge 17.564 og 3272 sammen, kunne du nok ikke bare sige resultatet i hovedet. Derfor bruger man enten en lommeregner eller blyant og papir. Hvordan du taster det ind på en lommeregner, skal jeg ikke lære dig, vi ser i stedet på fremgangsmåden på papir.
Tallene, vi vil lægge sammen, skriver vi under hinanden og retter dem ind til højre — så de samme pladser (enere, tiere, hundreder, …) står under hinanden. Under begge tal sætter vi en vandret streg. Det ser sådan ud:
Nu lægger vi de tal sammen, som står under hinanden. Hvis summen er mindre end ti, skriver vi simpelthen summen under stregen. Vi starter fra højre, fra den mindste plads. Først lægger vi altså 4 + 2 sammen, og det er seks. Seks er mindre end ti, så vi skriver tallet seks under stregen:
Vi fortsætter og lægger 6 + 7 sammen. Det giver 13, og det er allerede mere end ti. Nu skriver vi kun cifferet på enerpladsen under stregen, det vil sige, at vi skriver tre (vi trækker en tier fra de tretten).
Hvad skete der med cifferet 1, som vi skar fra? Og hvad betyder det? Nu regner vi med den anden kolonne fra højre, som i tallet svarer til tierne. Vi lagde faktisk tiere sammen, altså 60 + 70 = 130. Vi besluttede at beholde tallet 30 og lagde 100 til side til senere. Til hvornår? Til næste skridt, til næste kolonne. I næste skridt når vi til de cifre, der svarer til hundrederne. Og vi har et hundrede ekstra, som vi fik, da vi lagde tierne sammen. Det enkleste, vi kan gøre, er at lægge det hundrede til i næste skridt af additionen.
I stedet for at lægge 5 + 2 sammen i næste skridt skal vi altså lægge 5 + 2 + 1 sammen, hvor 1-tallet er det hundrede, som vi fik i forrige skridt. Det samlede resultat er otte, og det er mindre end ti. Under stregen skriver vi derfor 8.
Til næste skridt kommer der ikke noget ekstra tusinde, så vi lægger kun 7 + 3 = 10 sammen. Dette tal er ikke mindre end ti, så vi skriver det sidste ciffer under stregen, og en går videre. Under stregen skriver vi altså 0, og til næste skridt gemmer vi en ekstra enhed til titusindpladsen.
I den sidste kolonne står der kun et ciffer i første række. I anden række forestiller vi os derfor et nul og lægger 1 + 0 sammen, og vi må ikke glemme at lægge 1-tallet fra forrige skridt til: 1 + 0 + 1 = 2. Under stregen skriver vi 2.
Dermed slutter algoritmen, og vi har summen af tallene 17564 + 3272.
Animation af skriftlig addition
I de følgende felter kan du indtaste to naturlige tal og så bare nyde en animation af hele fremgangsmåden.
Grafisk fremstilling af addition
Addition kan vi fremstille grafisk på en tallinje. Tallinjen er en linje, hvor alle tal er afsat. Den kan se sådan ud:
Hvis vi vil illustrere addition af to tal på tallinjen, for eksempel 3+4, gør vi følgende: Vi tegner et linjestykke, der starter i begyndelsespunktet, altså i nul, og ender i tre. Ved addition lader vi linjestykket pege til højre for det punkt, hvor vi startede. Sådan her:
Nu afsætter vi fire på tallinjen. Men nu starter vi i tallet tre og tegner herfra et linjestykke af længde fire mod højre. Sådan her:
Det punkt, hvor det andet, grønne linjestykke ender, er det endelige resultat: 3 + 4 = 7.
Subtraktion
Subtraktion er den omvendte operation til addition. Hvis du lægger tallet b til et tal a og bagefter trækker tallet b fra igen, får du tallet a tilbage. Fremgangsmåden viser vi på eksemplet 158.748 − 99.575. Ligesom ved addition skriver vi tallene under hinanden:
Resultatet skriver vi under stregen, ligesom ved addition. Vi går frem fra højre, fra de mindste pladser. Først regner vi altså enerne. Hvis det øverste tal ikke er mindre end det nederste, skriver vi forskellen øverste tal − nederste tal under stregen. (Eller omvendt — hvis det nederste tal er mindre eller lige så stort, kan vi roligt trække fra.) På enerpladsen er det øverste tal ikke mindre, så vi skriver forskellen 8 − 5 = 3.
Vi rykker et ciffer til venstre, og nu er vi på tierpladsen. Her er det øverste tal allerede mindre end det nederste. Nu lægger vi en tier til det øverste tal og regner derefter på samme måde: øverste tal + 10 − nederste tal. Resultatet bliver 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
Da vi trak tierne fra, hjalp vi os selv ved at regne med ti tiere ekstra, så det skal vi huske i næste skridt. Ti tiere er et hundrede, så i næste skridt trækker vi et hundrede mere fra. Det betyder, at vi lægger 1-tallet fra forrige skridt til den nederste 5'er.
På hundredpladsen undersøger vi altså, om 7'eren (det øverste tal) er mindre end seks (nederste tal + 1). Det er det ikke, så vi kan trække fra på almindelig vis: øverste minus nederste. Også her skal vi lægge en til det nederste tal, så resultatet er 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
Til næste skridt flytter vi ikke noget, for i dette skridt behøvede vi ikke at låne fra højere pladser. På tusindpladsen lægger vi derfor ikke noget til noget. Men 8'eren i det øverste tal er mindre end 9'eren i det nederste tal, så vi må lægge en tier til det øverste tal. Vi får forskellen 8 + 10 − 9 = 9.
Til næste skridt flytter vi en 1'er, som vi lægger til det nederste tal. Ni plus en er ti, og den øverste 5'er er mindre end ti. Vi lægger ti til det øverste tal og tager forskellen: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Igen har vi hjulpet os med en højere plads, så vi flytter en 1'er til næste skridt. Her mangler der et tal i den nederste del, så vi forestiller os et nul. Når vi lægger 1'eren til, får vi resultatet 1. Det øverste tal er ikke mindre end det nederste (nu er det øverste tal lig med det nederste), så vi kan simpelthen trække fra: 1 − 1 = 0.
Så har vi resultatet. Nullet i begyndelsen kan vi fjerne og skrive: 158.748 − 99.575 = 59.173.
Grafisk fremstilling af subtraktion
Subtraktion kan vi ligesom addition fremstille på tallinjen. Vi ændrer blot retningen, når vi afsætter linjestykket. Vi afsætter ikke linjestykket til højre for det nuværende punkt, men til venstre. Hvis vi for eksempel skulle beregne 2 − 5, ville vi gøre følgende. Først ville vi afsætte tallet to på tallinjen i positiv retning, fordi to er positivt. Vi trækker fem fra, og det vender den modsatte vej.
Nu tegner vi det andet linjestykke ind, som skal forestille minus fem. Vi starter i det punkt, hvor vi sluttede, altså i to. Men linjestykket tegner vi tilbage, mod venstre.
