Trigonometrische Funktionen

In diesem Artikel beschäftige ich mich mit den trigonometrischen Funktionen, die manchmal auch Winkelfunktionen genannt werden. Die Wörter Goniometrie und Trigonometrie stammen aus dem Griechischen: Goniometrie bedeutet Winkelmessung, trigon wird mit Dreieck übersetzt. Wir kennen vier trigonometrische Grundfunktionen – Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens.

Grundbegriffe am Dreieck

Trigonometrische Funktionen arbeiten mit den Winkeln im Dreieck, deshalb wiederholen wir in diesem Teil die Begriffe rund um das Dreieck.

Im Bild siehst du ein Dreieck, das aus den Eckpunkten A, B und C besteht; es handelt sich also um das Dreieck ABC. Wir finden hier drei Seiten: $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{AC}$. Beachte außerdem, dass diese Seiten zusätzlich mit Kleinbuchstaben benannt sind. Diese Benennung folgt einer Regel – gegenüber dem Eckpunkt A liegt die Seite a. Gegenüber dem Eckpunkt B liegt die Seite b und gegenüber dem Eckpunkt C die Seite c. Nach dem Eckpunkt wird also immer die gegenüberliegende Seite benannt; die Seite, die nicht von diesem Eckpunkt gebildet wird.

Jedes Dreieck hat drei Innenwinkel, die wir üblicherweise mit den griechischen Buchstaben Alpha α, Beta β und Gamma γ bezeichnen. Die Summe aller drei Innenwinkel muss immer 180° ergeben. Am Eckpunkt A liegt üblicherweise der Winkel Alpha, bei B Beta und bei C Gamma.

Obwohl wir trigonometrische Funktionen irgendwie bei jedem Dreieck verwenden können, arbeiten wir oft nur mit dem rechtwinkligen Dreieck. Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, das einen rechten Winkel hat, also einen Winkel mit der Größe 90°. Es sieht zum Beispiel so aus:

Das rechtwinklige Dreieck hat besonders benannte Seiten. Die längste Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und heißt Hypotenuse (die blaue Seite im Bild). Die beiden kürzeren Seiten heißen Katheten (die roten Seiten). Dieses Dreieck wird uns in diesem Artikel am meisten interessieren.

Bezeichnung der Katheten im Dreieck

Gehen wir der Reihe nach zur ersten trigonometrischen Funktion über, zur Sinusfunktion. Alle trigonometrischen Funktionen zeigen uns den Zusammenhang zwischen einem Winkel im Dreieck und dem Verhältnis der Längen zweier Seiten. Meist geht es dabei nicht um den rechten Winkel, sondern um die übrigen beiden. Die Eingabe der trigonometrischen Funktion ist also die Winkelgröße. Die Ausgabe ist das Verhältnis zweier Seiten. Die einzelnen Funktionen unterscheiden sich darin, mit welchen Seiten sie arbeiten.

Die Sinusfunktion arbeitet mit der Gegenkathete und der Hypotenuse. Was bezüglich eines gegebenen Winkels die Ankathete und die Gegenkathete ist, zeigt das folgende Bild.

Im Bild arbeiten wir mit dem Winkel Beta, also mit dem Winkel am Eckpunkt B. Die schwarze Seite ist die Hypotenuse, an ihr ändert sich nichts. Die rot hervorgehobene Seite c ist die Ankathete, denn sie liegt am Winkel Beta an. Die blau hervorgehobene Seite b ist die Gegenkathete, denn sie liegt dem Winkel Beta gegenüber. Wichtig ist, dass sich diese Begriffe immer auf einen Winkel beziehen. Schauen wir das Bild aus der Sicht des Winkels Gamma an, erhalten wir dieses Ergebnis:

Die Sinusfunktion

Der Sinus des Winkels Alpha ist gleich dem Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Hypotenuse. Was bedeutet das? Berechnen wir (zum Beispiel mit dem Taschenrechner) den Sinus des Winkels Alpha, erhalten wir den Wert des Quotienten

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Länge der Gegenkathete}}{\text{Länge der Hypotenuse}}$$

Probieren wir es an diesem Dreieck und am Winkel Beta aus: Es ist ein schönes Dreieck, die Seitenlängen sind: |a| = 5, |b| = 3 und |c| = 4. Die Gegenkathete des Winkels Beta ist die Seite b, die Hypotenuse ist die Seite a. Wir berechnen den Quotienten b/a, also 3/5, das ist 0,6. Der Sinus des Winkels Beta ist also gleich 0,6. Der Winkel Beta hat die Größe 36° 52′; gibst du diesen Winkel in den Taschenrechner ein und berechnest den Sinus, erhältst du genau 0,6 (nach einer kleinen Rundung).

Wozu ist das gut

Es ist nützlich, wenn du einen Winkel und die Länge einer Seite kennst und die übrigen Seiten berechnen musst.

Zuerst schreiben wir auf, was wir eigentlich wissen. Wir kennen den Winkel Alpha. Wir wissen, dass der Sinus dieses Winkels gleich dem Verhältnis von Gegenkathete (das ist die Seite a) zu Hypotenuse (Seite b) ist. Mathematisch geschrieben:

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Den Sinus des Winkels kennen wir beziehungsweise können wir ihn berechnen, die Länge der Seite a kennen wir. Das Einzige, was wir nicht kennen, ist die Länge der Seite b. Diese Variable wollen wir also isolieren. Zuerst multiplizieren wir die Gleichung mit der Länge der Seite b. Wir erhalten

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

und jetzt dividieren wir die Gleichung nur noch durch sin(α) und erhalten die gewünschte Form mit der Länge der Seite b auf der linken Seite:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

Die Länge der Seite a kennen wir, sie ist gleich drei. Der Sinus von 30° ist gleich einhalb. Wir setzen ein:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

Die Seite b hat die Länge sechs.

Die Kosinusfunktion (Cosinus)

Der Kosinus ist dem Sinus sehr ähnlich. Die Begriffe rund um den Kosinus sind dieselben wie im vorigen Teil, gehen wir also gleich zur Definition über:

Der Kosinus des Winkels Alpha ist gleich dem Verhältnis der Länge der Ankathete zur Länge der Hypotenuse. Berechnen wir also mit dem Taschenrechner den Kosinus des Winkels Alpha, erhalten wir den Wert des Quotienten

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{Länge der Ankathete}}{\text{Länge der Hypotenuse}}.$$

Den Unterschied zwischen Sinus und Kosinus zeigt übersichtlich das folgende Bild:

Beide Funktionen arbeiten mit der Hypotenuse des Dreiecks, sie bleibt schwarz. Der Sinus arbeitet mit der Gegenkathete, das ist – bezüglich des Winkels Alpha – die rote Seite $\overline{BC}$. Der Kosinus arbeitet mit der Ankathete, das ist die blaue Seite $\overline{AB}$.

Kehren wir zum Beispiel aus dem vorigen Kapitel zurück. Wir sollten die Länge der Hypotenuse berechnen, wenn wir die Länge der Seite a kannten. Versuchen wir jetzt, die Länge der Seite c zu berechnen, wenn wir den Winkel Alpha und die Länge der Hypotenuse kennen, die wir gerade im vorigen Beispiel berechnet haben: b = 6.

Was wissen wir? Der Winkel Alpha hat die Größe 30°, die Länge der Seite b ist gleich sechs, und der Kosinus gibt uns das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse an. Die Ankathete ist die Seite c, also die Seite, deren Länge wir herausfinden wollen. Wir schreiben:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Wir müssen aus der Gleichung |c| isolieren. Das tun wir, indem wir die Gleichung mit der Länge der Seite b multiplizieren, wodurch auf der rechten Seite genau nur die Länge der Seite c übrig bleibt:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Wir vertauschen nur die Seiten:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

Auf der rechten Seite stehen Terme, die wir entweder kennen oder berechnen können. Der Kosinus von 30° ist ungefähr 0,866. Wir setzen in die Gleichung ein:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Das ist die Länge der Seite c. Wie wir später sehen werden, ist der Kosinus von 30° ein Tabellenwert, der gleich

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

ist, sodass wir die vorherige Länge genauer angeben können:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tangens und Kotangens (Cotangens)

Es gibt noch zwei weitere trigonometrische Funktionen, Tangens und Kotangens. Der Hauptunterschied gegenüber den bisherigen trigonometrischen Funktionen ist, dass Tangens und Kotangens nur mit den Katheten arbeiten, nicht mit der Hypotenuse.

Der Tangens des Winkels Alpha ist gleich dem Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Ankathete. Den Tangens bezeichnen wir üblicherweise mit tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Länge der Gegenkathete}}{\text{Länge der Ankathete}}$$

Der Kotangens des Winkels Alpha ist gleich dem Verhältnis der Länge der Ankathete zur Länge der Gegenkathete. Den Kotangens bezeichnen wir üblicherweise mit cot.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Länge der Ankathete}}{\text{Länge der Gegenkathete}}$$

Die Begriffe sind wieder dieselben wie in den vorherigen Teilen, und auch die weitere Arbeit mit den Funktionen ist dieselbe. Kehren wir zum vorigen Beispiel zurück und versuchen wir, die Länge der Seite c nur aus der Größe des Winkels Alpha und der Länge der Seite a zu berechnen, die a = 3 ist.

Der Tangens ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete, mathematisch geschrieben sieht das also so aus:

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Wir müssen die Länge der Seite c berechnen, also müssen wir aus dieser Gleichung den Term |c| isolieren. Wir multiplizieren mit dem Term |c| und dividieren durch tan(α), ähnlich wie in den vorherigen Beispielen.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/:\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

Wir setzen in die rechte Seite ein, wobei der Tangens von 30° ungefähr gleich 0,5773 ist.

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

Für den Tangens von 30° gibt es einen Tabellenwert, es gilt:

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

sodass wir die vorherige Rechnung exakt durchführen können:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Tabellenwerte

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens haben für einige schöne Winkel schöne Funktionswerte. Hier ist ihre Grundübersicht:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Links

Verwandte Begriffe hier auf der Website:

• Orientierter Winkel
• Bogenmaß (Radiant)