Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist wohl der berühmteste mathematische Satz überhaupt. Über Pythagoras von Samos selbst kannst du anderswo nachlesen. Jetzt wenden wir uns den Dreiecken zu.

Flächeninhalt des Quadrats über einer Dreiecksseite

Der Satz des Pythagoras liefert uns einen nützlichen Zusammenhang zwischen den Flächeninhalten der Quadrate, die wir über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks konstruieren. Stellen wir uns vor, wir haben dieses rechtwinklige Dreieck:

Die Kästchen im Hintergrund geben uns die Maße des Dreiecks an. Es gilt, dass die Länge der Kathete AC gleich 4 ist und die Länge der Kathete BC gleich 3. Wie lang ist aber die Seite AB, die Hypotenuse des Dreiecks? Auf den ersten Blick können wir die Länge nicht bestimmen. Wir können sie aber versuchen auszurechnen.

Zuerst konstruieren wir ein Quadrat über der Kathete BC. Damit ist gemeint, dass wir ein Quadrat konstruieren, dessen Seiten alle so lang sind wie die Seite BC, also drei. In die Abbildung zeichnen wir es so ein:

Es ist das Quadrat BCDE entstanden, dessen Seiten alle die Länge 3 haben. Welchen Flächeninhalt hat ein solches Quadrat? Den Flächeninhalt eines Quadrats berechnen wir, indem wir die Längen zweier Seiten des Quadrats multiplizieren, der Flächeninhalt des Quadrats BCDE ist also 3 · 3 = 9. Wir zeichnen in die Abbildung das Quadrat über der anderen Kathete, über der Kathete AC. Ein solches Quadrat hat die Seitenlänge 4.

Dieses Quadrat hat den Flächeninhalt 4 · 4 = 16. Nun zeichnen wir das letzte Quadrat ein, über der Hypotenuse AB:

Welchen Flächeninhalt dieses neue Quadrat hat, wissen wir noch nicht, weil wir die Länge der Seite AB nicht kennen. Jetzt können wir aber den Satz des Pythagoras schön nutzen. Er besagt nämlich, dass der Flächeninhalt dieses letzten Quadrats ABHI gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden vorherigen Quadrate ist. Die ersten beiden Quadrate hatten also die Flächeninhalte 9 und 16, das letzte Quadrat hat daher – nach dem Satz des Pythagoras – den Flächeninhalt 9 + 16 = 25. Wir zeichnen es in die Abbildung ein:

Und jetzt bleibt nur noch die letzte Frage zu beantworten – wenn das Quadrat ABHI den Flächeninhalt 25 hat, wie lang sind dann die Seiten dieses Quadrats? Es muss die Wurzel aus 25 sein, die Länge der Seite AB ist also $\sqrt{25}=5$. Wenn wir es zur Probe nachrechnen und den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge 5 berechnen, erhalten wir den Flächeninhalt 5 · 5 = 25. Und jetzt können wir uns an die Zahlen und Definitionen machen.

Definition

Der Satz des Pythagoras lautet ungefähr so: „Der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten.“ Mathematisch schreibt man diesen Satz üblicherweise so

$$c^2=a^2+b^2,$$

wobei a und b die Längen der Katheten im Dreieck sind und c die Länge der Hypotenuse.

Was sagt der Satz des Pythagoras also aus, und wie hängt diese Schreibweise mit der vorherigen Abbildung zusammen? Der Flächeninhalt des Quadrats über einer Seite im Dreieck bedeutet, dass wir das Quadrat nehmen, dessen Seitenlänge gleich der Länge dieser Seite ist, und seinen Flächeninhalt berechnen. Den Flächeninhalt eines Quadrats berechnen wir, indem wir eine Seitenlänge mit der anderen Seitenlänge multiplizieren. Wenn die Seite also die Länge c hat, ist der Flächeninhalt A gleich: A = c · c, was wir mithilfe von Potenzen als A = c² schreiben können.

Die Schreibweise c² = a² + b² können wir also genau so lesen: „Der Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge c ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate mit den Seitenlängen a und b.“

Ich betone noch einmal, dass der Satz nur im rechtwinkligen Dreieck gilt, nicht im allgemeinen Dreieck. Der Satz des Pythagoras wird klassischerweise in den Fällen verwendet, in denen du die Länge zweier Seiten kennst und die Länge der übrigen Seite berechnen musst. Wenn wir also die Länge beider Katheten a und b kennen und die Länge der Hypotenuse c erhalten wollen, berechnen wir die Flächeninhalte über den Katheten, also a² + b². Damit erhalten wir den Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse c, also c². Um die Länge der Seite c zu erhalten, ziehen wir aus dem berechneten Flächeninhalt nur noch die Wurzel. So erhalten wir die Formel:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

wobei c die Länge der Hypotenuse ist und a, b die Längen der Katheten sind. Wenn wir dagegen die Länge der Hypotenuse und einer Kathete kennen und die Länge der übrigen Kathete berechnen wollten, würden wir genauso vorgehen, nur würden wir zuerst eine der Katheten in der gegebenen Gleichung isolieren. Wenn wir also c und b kennen und a berechnen wollen, isolieren wir in der Gleichung

$$c^2=a^2+b^2,$$

a², indem wir b² subtrahieren:

$$c^2-b^2=a^2,$$

wir vertauschen die linke und die rechte Seite:

$$a^2=c^2-b^2$$

und ziehen schließlich die Wurzel:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Erstes Beispiel

Gegeben sei ein Dreieck ABC, bei dem wir die Längen zweier Seiten kennen: a = 3 und b = 4. Es ist dasselbe Dreieck, das wir am Anfang hatten. Die Frage lautet, wie lang die übrige Seite ist, die Seite c. Wir versuchen, sie mit der angegebenen Formel auszurechnen. Das Dreieck zeigt die folgende Abbildung:

Wir sehen, dass wir die Längen der beiden Katheten kennen und uns die Länge der Hypotenuse fehlt. Deshalb verwenden wir die erste, nicht umgeformte Formel:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Wir setzen für die Variablen a und b die Seitenlängen ein:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

In der Formel haben wir das Quadrat – zur Erinnerung gilt der folgende Zusammenhang:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Nach dem Berechnen der Quadrate erhalten wir also:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

Das Ergebnis ist, dass die Länge der Seite c gleich fünf ist.

Zweites Beispiel

In diesem Beispiel versuchen wir, die Länge einer der Katheten zu berechnen, wenn wir eine Kathete und dazu die Länge der Hypotenuse kennen. Wir haben also ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen |AC| = 10 und |BC| = 6. Das Dreieck zeigt die folgende Abbildung:

An der Abbildung sehen wir, dass die Hypotenuse, also die längste Seite, die Seite |AC| ist. Wir müssen die Länge der Seite |AB| berechnen. Wir setzen in die zweite Formel zur Berechnung der Länge einer Kathete ein:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Um den Satz des Pythagoras richtig anzuwenden, müssen wir uns jetzt klarmachen, was welche Variable bezeichnet. In dieser Formel ist die Variable a die Länge der Seite, die wir berechnen wollen, in unserem Fall die Seite |AB|. Die Variable c ist die Länge der Hypotenuse, der längsten Seite, in unserem Fall die Seite |AC|. Und die Variable b ist die Länge der Kathete, deren Länge wir kennen, in unserem Fall |BC|. Deshalb setzen wir so in die Formel ein:

$$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}$$

Wir setzen die konkreten Seitenlängen ein, die wir kennen:

$$|AB|=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Wir berechnen die Quadrate und subtrahieren:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

Und zum Schluss ziehen wir die Wurzel:

$$|AB|=8$$

Die Länge der Seite |AB| ist gleich acht.

Textaufgabe

Stell dir vor, du gehst auf einer geraden Straße zu deiner Freundin. Die Straße ist 250 Meter lang. Nach diesem Viertelkilometer biegst du links ab, gehst noch 100 Meter und bist bei deiner guten Freundin. Die Frage lautet, um wie viel kürzer der Weg wird, wenn du auf dem direkten Weg über das Feld gehst.

Im ersten Schritt berechnen wir die Länge des Weges, wenn du auf der Straße gehst. Du gehst zuerst 250 Meter geradeaus und dann 100 Meter nach links. Das sind insgesamt 250 + 100 = 350 Meter. Jetzt ist die Berechnung der Länge des Weges über das Feld an der Reihe. Dazu brauchen wir eine Abbildung.

Ein Kästchen in der Abbildung steht für 50 Meter. Wie würde der direkte Weg über das Feld aussehen? Es wäre die Strecke vom Punkt A zum Punkt C. Wir zeichnen sie in roter Farbe in die Abbildung ein.

Jetzt sehen wir, dass wir für die Berechnung der Länge des Weges über das Feld nur den Satz des Pythagoras passend anwenden müssen. Wir suchen die Länge der Hypotenuse und kennen die Länge beider Katheten, also verwenden wir die erste Formel und setzen so ein:

$$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|CB{|}^2}$$

Wir setzen die Längen ein:

$$|AC|=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Wir quadrieren:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Wir ziehen die Wurzel und runden:

$$|AC|=269$$

Die Länge des Weges über das Feld beträgt 269 Meter. Damit ist die Aufgabe noch nicht zu Ende, die Frage lautete, um wie viel der Weg über das Feld kürzer ist. Wir subtrahieren also die Längen voneinander und bezeichnen die Differenz mit d:

$$d=350-269=81$$

Die Antwort lautet, dass der Weg um etwa 81 Meter kürzer ist.

Seitenlänge eines Quadrats

Wie lang ist die Seite eines Quadrats, dessen Diagonale die Länge zehn hat? Wie hilft uns dabei der Satz des Pythagoras? Wir müssen im Quadrat ein rechtwinkliges Dreieck finden, das wir zur Berechnung der Seitenlänge des Quadrats verwenden. Zur Erinnerung: Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten. Zeichnen wir die aktuelle Situation:

Wir sehen, dass im Quadrat plötzlich zwei Dreiecke aufgetaucht sind, die einen rechten Winkel haben und die wir zur Berechnung der Seitenlänge verwenden könnten. Nehmen wir zum Beispiel das Dreieck BCD. Die Seite DB ist die Hypotenuse, die beiden übrigen sind Katheten. Die Längen der Katheten kennen wir nicht, aber wir kennen die Länge der Hypotenuse. Diese Katheten sind gleich lang, also |BC| = |CD|. Wir verwenden den grundlegenden Satz des Pythagoras:

$$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2$$

Weil die Katheten aber gleich sind, genügt es, das Quadrat einer Kathete zu berechnen und mit zwei zu multiplizieren – wir müssen nicht das Quadrat beider Katheten berechnen, weil sie gleich sind und wir dasselbe Ergebnis erhielten. Wir können also schreiben:

$$|BD{|}^2=2(|BC{|}^2)$$

Wir kennen die Länge der Seite BD, das ist die Hypotenuse. Die Länge ist gleich zehn. Wir setzen in die Gleichung ein:

$${10}^2=2(|BC{|}^2)$$

Wir quadrieren die Zehn:

$$100=2(|BC{|}^2)$$

Wir teilen durch zwei:

$$\frac{100}{2}=|BC{|}^2$$

Wir kürzen den Bruch:

$$50=|BC{|}^2$$

Jetzt sind wir schon fast am Ziel. Wir wissen, dass das Quadrat der Seitenlänge des Quadrats gleich 50 ist. Um die Seitenlänge zu erhalten, müssen wir auf beiden Seiten der Gleichung noch die Wurzel ziehen, was wir uns erlauben dürfen, weil wir uns im Bereich der positiven Zahlen bewegen:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC{|}^2}$$

Die Wurzel aus fünfzig lassen wir in dieser Form, auf der rechten Seite der Gleichung können wir aber die Wurzel und das Quadrat weglassen, weil sie sich gegenseitig aufheben.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Wenn du möchtest, kannst du auch aus der Fünfzig die Wurzel ziehen. Gerundet erhielten wir sieben:

$$7=|BC|$$

Es gilt also, dass die Seitenlänge des Quadrats ungefähr sieben beträgt, genau die Wurzel aus fünfzig.

Rechner

Die Hypotenuse berechnest du aus beiden Katheten, eine Kathete aus der Hypotenuse und der anderen Kathete. Die Einheiten kannst du bei jedem Feld umstellen.