Ανατοκισμός

Τον τόκο τον ανατοκίζουμε όταν πρέπει να τον εφαρμόσουμε περισσότερες από μία φορές. Αν έχουμε ένα χρέος που τοκίζεται μία φορά τον χρόνο και το οφείλουμε για πέντε χρόνια, το χρέος θα τοκιστεί πέντε φορές – τότε μιλάμε για ανατοκισμό.

Ανατοκισμός

Όταν το οφειλόμενο ποσό τοκίζεται πολλές φορές, μιλάμε για ανατοκισμό. Στον προηγούμενο τύπο χρησιμοποιούσαμε ποσοστά, ενώ στον επόμενο θα είναι πιο εύκολο να μετατρέψουμε το ποσοστό σε συνηθισμένο δεκαδικό αριθμό. Αυτό γίνεται απλά: διαιρούμε το ποσοστό με το εκατό. Αν ο τόκος ήταν 50%, παίρνουμε την τιμή 0,5, δηλαδή το μισό. Αν ήταν 7%, παίρνουμε τον αριθμό 0,07. Αυτόν τον δεκαδικό αριθμό θα τον συμβολίζω με το γράμμα «d». Ο τύπος θα μπορούσε να γραφτεί έτσι:

$$d=\frac{\text{επιτόκιο}}{100}$$

Αν με αυτόν τον αριθμό πολλαπλασιάσουμε το οφειλόμενο ποσό, παίρνουμε κατευθείαν τον τόκο. Ας υποθέσουμε ότι ο θείος Βασίλης μάς δάνεισε 80.000 € με ετήσιο επιτόκιο 10%. Ως δεκαδικός αριθμός, 0,1. Μετά από ένα χρόνο ο τόκος είναι 80000 · 0,1 = 8000. Δηλαδή πληρώνουμε 8000 € περισσότερα από όσα δανειστήκαμε. Πόσος θα είναι ο τόκος τον επόμενο χρόνο; Πρέπει να πάρουμε το αρχικό ποσό, να προσθέσουμε τον πρώτο τόκο και να πολλαπλασιάσουμε ξανά με 0,1:

$$(80000+8000)\cdot 0,1=8800$$

Έναν χρόνο αργότερα θα πληρώναμε τόκο 8800 €, δηλαδή περισσότερο από τον πρώτο χρόνο.

Αν θέλουμε να βρούμε κατευθείαν το οφειλόμενο ποσό και όχι μόνο τον τόκο, αρκεί να προσθέσουμε το 1 στο επιτόκιο σε δεκαδική μορφή και να πολλαπλασιάσουμε με αυτή την παράσταση το οφειλόμενο ποσό:

$$80000\cdot 1,1=88000$$

Μετά τον πρώτο χρόνο θα οφείλαμε λοιπόν 88.000 €. Για να υπολογίσουμε το οφειλόμενο ποσό μετά από τρία χρόνια, πολλαπλασιάζουμε με το 1,1 αρκετές φορές στη σειρά:

$$((80000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=106480$$

Από εδώ αρχίζει σιγά σιγά να διαγράφεται ο τύπος, γιατί στον πολλαπλασιασμό δεν έχει σημασία η σειρά ούτε οι παρενθέσεις, οπότε μπορούμε να γράψουμε την παράσταση ως εξής:

$$80000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

Και αυτό το γράφουμε απλώς με δυνάμεις:

$$80000\cdot 1,1^3$$

Από αυτό μπορούμε εύκολα να βγάλουμε τον γενικό τύπο.

Ο τελικός τύπος του ανατοκισμού

Ακολουθεί ο τύπος του ανατοκισμού, τον οποίο θα εξηγήσω αμέσως μετά:

$$j_t=j_0\cdot (1+d{)}^t$$

Το γράμμα «j» παριστάνει το κεφάλαιο, δηλαδή το οφειλόμενο ποσό. Ο κάτω δείκτης δείχνει πόσους τοκισμούς έχουμε ήδη πίσω μας. Το σύμβολο j₀ είναι λοιπόν το ποσό που δεν έχει περάσει από κανέναν τοκισμό – το ποσό που πήραμε στην αρχή (τα 80.000 € του θείου Βασίλη). Το γράμμα «t» δείχνει τον αριθμό των τοκισμών που θέλουμε να υπολογίσουμε. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε για δέκα χρόνια μπροστά, ισχύει t = 10. Το σύμβολο j_t είναι το τελικό οφειλόμενο ποσό μετά από t τοκισμούς. Το γράμμα «d» είναι το επιτόκιο σε δεκαδική γραφή (βλ. παραπάνω).

Ας υπολογίσουμε πόσο τόκο θα πληρώναμε αν επιστρέφαμε ολόκληρο το ποσό στον θείο Βασίλη μόλις μετά από 15 χρόνια:

$$j_t=j_0\cdot (1+d{)}^t=80000\cdot (1+0,1{)}^{15}=334180$$

Επισημαίνω ότι αυτό δεν είναι ακριβώς ο τόκος, αλλά το τελικό οφειλόμενο ποσό. Αν θέλουμε μόνο τον τόκο, πρέπει να αφαιρέσουμε το αρχικό οφειλόμενο ποσό, δηλαδή ακόμα 80.000 €: 254.180 €.

Παράδειγμα

Ο Παύλος ήθελε να αγοράσει καινούργιο αυτοκίνητο, αλλά φυσικά δεν είχε λεφτά, οπότε δανείστηκε είκοσι χιλιάδες, 20.000 €. Το επιτόκιο ήταν 8% και ο τόκος υπολογιζόταν κάθε χρόνο. Ο Παύλος τα ξόδευε αλόγιστα και τον πρώτο χρόνο αποπλήρωσε μόνο οκτακόσια ευρώ, 800 €. Το οφειλόμενο ποσό μειώθηκε σε 19.200 €. Όμως στην αλλαγή του χρόνου έγινε ο τοκισμός και ο τόκος υπολογίστηκε σε 19200 · 0,08 = 1536. Την Πρωτοχρονιά ο Παύλος χρωστούσε ήδη 19200 + 1536 = 20736. Αυτό είναι περισσότερο απ' ό,τι στην αρχή.

Αυτό δεν ανησύχησε καθόλου τον Παύλο και πάλι αποπλήρωσε μόνο 800 €. Χρωστούσε έτσι 19.936 €. Μετά τον τοκισμό το ποσό ανέβηκε στα 21.530,88 €. Το οφειλόμενο ποσό ήταν υψηλότερο από πέρσι και από πρόπερσι. Ο Παύλος δεν το κατάλαβε και συνέχισε να αποπληρώνει μόνο 800 € τον χρόνο. Το πλήρωνε μέχρι το τέλος της ζωής του και παρ' όλα αυτά πέθανε με τεράστιο χρέος. Έτσι καλύτερα όχι.

Περισσότερα για διάβασμα

Με τον ανατοκισμό συνδέεται στενά ο αριθμός e. Μην παραλείψεις λοιπόν να διαβάσεις από πού προέκυψε ο αριθμός του Euler. Και τον ανατοκισμό θα τον χρειαστείς αν θέλεις να μάθεις πώς να υπολογίσεις τους τόκους ενός στεγαστικού δανείου.