Λογαριθμικές συναρτήσεις

Η λογαριθμική συνάρτηση είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης.

Τι είναι ο λογάριθμος

Τη λογαριθμική συνάρτηση τη γράφουμε με τη λέξη log· αν πρόκειται για τον φυσικό λογάριθμο (βλ. παρακάτω), τον συμβολίζουμε ln. Ο βασικός τύπος της λογαριθμικής συνάρτησης είναι ο εξής:

$y = \log_{a} x$

Αυτόν τον συμβολισμό τον διαβάζουμε: «Λογάριθμος του αριθμού x με βάση a». Αυτή η λογαριθμική συνάρτηση είναι αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης f(x) = a^x. Η τιμή της λογαριθμικής συνάρτησης ονομάζεται λογάριθμος.

Επειδή η λογαριθμική συνάρτηση είναι αντίστροφη της εκθετικής, πρέπει να ισχύει η παρακάτω ισοδυναμία:

$y = \log_{a} x \Leftrightarrow a^{y} = x$

Δηλαδή αν η τιμή a^y είναι ίση με x, τότε ο λογάριθμος του x με βάση a είναι ίσος με y. Ας δούμε μερικά παραδείγματα. Έστω η εκθετική συνάρτηση f(x) = 2^x. Πώς θα έμοιαζε η αντίστροφη (λογαριθμική) συνάρτηση; Ως εξής: f⁻¹(x) = log₂x. Αν στην εκθετική συνάρτηση βάλουμε το τρία, παίρνουμε: f(3) = 2³ = 8.

Ποια σχέση πρέπει να ισχύει τώρα; Πρέπει, αν στην αντίστροφη συνάρτηση f⁻¹ βάλουμε το οκτώ, η λογαριθμική συνάρτηση να μας επιστρέψει το τρία. Γιατί ο αριθμός 3 ήταν η ανεξάρτητη μεταβλητή της εκθετικής συνάρτησης και ο αριθμός 8 το αποτέλεσμα. Η αντίστροφη συνάρτηση συμπεριφέρεται αντίστροφα: δέχεται το 8 και δίνει το 3. Προς το παρόν μπορείς να το επιβεβαιώσεις, για παράδειγμα, στο Google (το lg σημαίνει λογάριθμος με βάση δύο).

Άρα, αν γράψουμε 2³ = 8, τότε η αντίστροφη λογαριθμική συνάρτηση μας δίνει τη σχέση log₂8 = 3. Τι είναι λοιπόν ο λογάριθμος; Ο λογάριθμος είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τη βάση, για να πάρουμε το όρισμα x.

Σημαντικές λογαριθμικές συναρτήσεις

Μερικές λογαριθμικές συναρτήσεις είναι ιδιαίτερα σημαντικές. Συγκεκριμένα, πρόκειται για τον «φυσικό λογάριθμο», που έχει ως βάση τον αριθμό του Euler. Τον συμβολίζουμε με το γράμμα e. Είναι άρρητος αριθμός, δηλαδή αριθμός με άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά ψηφία. Η προσεγγιστική τιμή του είναι e = 2,718281828…. Τον φυσικό λογάριθμο τον γράφουμε είτε log_ex είτε, πιο απλά, ln x. Το «n» προέρχεται από το λατινικό «logarithmus naturalis», αλλά για να το θυμάσαι αρκεί να σκεφτείς τα αγγλικά, όπου είναι παρόμοιο: «natural» = «φυσικός».

Ένας άλλος σημαντικός λογάριθμος είναι ο «δεκαδικός λογάριθμος», δηλαδή η λογαριθμική συνάρτηση με βάση το δέκα. Συνήθως τον γράφουμε είτε log₁₀x είτε απλώς log x. Όταν δεν αναγράφεται βάση, εννοείται βάση 10.

Ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης

Όπως ήδη ξέρουμε, η λογαριθμική συνάρτηση είναι αντίστροφη της εκθετικής. Γι' αυτό κληρονομεί και μερικές από τις ιδιότητες και τους περιορισμούς της. Ξέρουμε ότι η εκθετική συνάρτηση έχει τη μορφή f(x) = a^x, όπου a είναι πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος από το μηδέν και διαφορετικός από το ένα. Επομένως και η βάση a του λογαρίθμου πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και διαφορετική από το ένα. Ας γράψουμε λοιπόν ξανά τον τύπο της λογαριθμικής συνάρτησης:

$y = \log_{a} x, a \in R, a > 0, a \neq 1$

Επειδή πρόκειται για αντίστροφη συνάρτηση, γνωρίζουμε ήδη και το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών. Το πεδίο ορισμού της λογαριθμικής συνάρτησης είναι ίδιο με το σύνολο τιμών της εκθετικής, άρα το πεδίο ορισμού της λογαριθμικής συνάρτησης είναι το (0, +∞). Το σύνολο τιμών του λογαρίθμου είναι τότε ίδιο με το πεδίο ορισμού της εκθετικής συνάρτησης, δηλαδή το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.

Γραφικές παραστάσεις λογαριθμικών συναρτήσεων

Όπως και στην εκθετική συνάρτηση, πρέπει να ξεχωρίσουμε δύο περιπτώσεις. Όταν η βάση a ανήκει στο διάστημα (0, 1) και όταν ανήκει στο (1, +∞). Στην πρώτη περίπτωση, δηλαδή όταν το a ανήκει στο (0, 1), η γραφική παράσταση έχει την εξής μορφή:

$Γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης \log_{\frac12}x$

Όταν η βάση a ανήκει στο (1, +∞), η γραφική παράσταση έχει την εξής μορφή:

$Γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης \log_ex$

Δες ακόμη τις γραφικές παραστάσεις της εκθετικής συνάρτησης και της αντίστροφής της λογαριθμικής στο ίδιο σχήμα (με μπλε ο λογάριθμος, με κόκκινο η εκθετική συνάρτηση):

$Γραφική παράσταση των συναρτήσεων y=e^x και y=\log_ex – οι καμπύλες είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων (γκρι διακεκομμένη γραμμή)$

Γιατί οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σημείο (1, 0)

Και οι δύο γραφικές παραστάσεις τέμνουν τον άξονα x'x στο σημείο x = 1. Αυτό είναι φυσιολογικό, αφού κάθε εκθετική συνάρτηση περνά από το σημείο (0, 1). Επειδή ο λογάριθμος είναι αντίστροφη συνάρτηση, πρέπει να περνά πάντα από το σημείο (1, 0). Υπάρχει λογική εξήγηση. Αν η γραφική παράσταση περνά από το σημείο (1, 0), σημαίνει ότι για είσοδο x = 1 έχουμε έξοδο f(x) = 0.

Στους λογαρίθμους αυτό σημαίνει ότι ψάχνουμε τον εκθέτη στον οποίο, αν υψώσουμε τη βάση, παίρνουμε το ένα. Ποιος είναι αυτός ο εκθέτης; Μόνο το μηδέν. Κάθε αριθμός υψωμένος στη μηδενική δύναμη είναι ίσος με ένα, γι' αυτό, όποια κι αν είναι η βάση, η λογαριθμική συνάρτηση θα περνά από το σημείο (1, 0). (Σημείωση: μην ξεχνάς ότι η βάση δεν μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός: a>0 και a ≠ 1.)

Ιδιότητες των λογαρίθμων (τύποι)

Ακολουθούν μερικές σημαντικές σχέσεις και τύποι για τους λογαρίθμους:

Υποθέτουμε ότι το a είναι πράγματι βάση λογαρίθμου, δηλαδή a>0, a ≠ 1. Έστω ακόμη ότι τα x₁ και x₂ είναι οποιοιδήποτε θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Τότε ισχύουν:

$\begin{array}{rcl} \log_{a} (x_{1} \cdot x_{2}) & = & \log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2} \\ \log_{a} (\frac{x_{1}}{x_{2}}) & = & \log_{a} x_{1} - \log_{a} x_{2} \\ \log_{a} x^{r} & = & r \cdot \log_{a} x \forall r \in R \\ \log_{a} \sqrt[n]{x} & = & \frac{1}{n} \log_{a} x \forall n \in N^{*} \end{array}$

Μερικές σχέσεις που προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό του λογαρίθμου:

$\begin{array}{rcl} \log_{a} 1 & = & 0 (a^{0} = 1) \\ \log_{a} a & = & 1 (a^{1} = a) \\ a^{\log_{a} x} & = & \log_{a} a^{x} = x \end{array}$

Πώς να εκφράσεις έναν λογάριθμο με τον φυσικό λογάριθμο

Μερικές φορές, για παράδειγμα σε μια αριθμομηχανή, δεν έχουμε στη διάθεσή μας λογάριθμο με οποιαδήποτε βάση, παρά μόνο τον φυσικό και τον δεκαδικό. Τι να κάνεις, αν πρέπει να υπολογίσεις λογάριθμο με άλλη βάση; Υπάρχει ένας τύπος που θα σε βοηθήσει. Ισχύει ότι:

$\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$

Αν για το b διαλέξουμε τον αριθμό του Euler, παίρνουμε τον τύπο:

$\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Στο πρώτο κεφάλαιο χρειαζόμασταν τον λογάριθμο του αριθμού 8 με βάση 2. Αυτόν μπορούμε να τον υπολογίσουμε με τον φυσικό λογάριθμο ως εξής:

$\log_{2} 8 = \frac{\ln 8}{\ln 2} = 3$

Τον υπολογισμό μπορούμε πάλι να τον ελέγξουμε στο Google. Δεν είναι όμως υποχρεωτικό να χρησιμοποιήσεις τον φυσικό λογάριθμο· μπορείς άνετα να χρησιμοποιήσεις και τον δεκαδικό, ο τύπος το επιτρέπει. Άρα ισχύει εξίσου:

$\log_{2} 8 = \frac{\log 8}{\log 2} = 3$

(Μην ξεχνάς ότι όταν δεν αναγράφεται βάση, εννοείται βάση a = 10.) Και πάλι έλεγχος στο Google.

« Προηγούμενο: Ρίζες

Επόμενο: Δευτεροβάθμια συνάρτηση »