Γωνία

Αν έχεις μια γωνία και θέλεις να την αντιγράψεις κάπου αλλού, μπορείς να χρησιμοποιήσεις τη μέθοδο της μεταφοράς γωνιών.

Τι είναι η γωνία

Ο ορισμός της γωνίας δεν είναι εντελώς απλή υπόθεση και υπάρχουν διάφορες εκδοχές. Για τις ανάγκες μας όμως θα μπορούσε να αρκεί η εξής: Γωνία είναι το μέρος του επιπέδου που περιορίζεται από δύο ημιευθείες με κοινή αρχή. Σε αυτόν τον ορισμό είναι σημαντικό ότι γωνία δεν είναι μόνο οι δύο πλευρές, αλλά ολόκληρη η επιφάνεια, ολόκληρο το επίπεδο που σχηματίζουν οι δύο πλευρές. Δες το παρακάτω σχήμα:

Το προηγούμενο σχήμα όμως δεν ήταν απολύτως ακριβές, γιατί δεν διευκρινίσαμε ποια γωνία εννοούμε. Με την πρώτη ματιά θα μπορούσαμε βέβαια να φανταστούμε ως γωνία ABC την επιφάνεια που αναφέραμε, αλλά το ίδιο καλά θα μπορούσαμε να φανταστούμε το άλλο μέρος του επιπέδου:

Γι’ αυτό, όταν γράφουμε γωνίες, θα πρέπει να ξεχωρίζουμε αν εννοούμε κυρτή γωνία (αυτή που έχει λιγότερο από 180°) ή μη κυρτή γωνία (περισσότερο από 180°). Τη μη κυρτή γωνία μπορούμε να την ονομάζουμε και κοίλη γωνία. Αυτό μπορεί να γραφτεί, για παράδειγμα, με τη βοήθεια της προσανατολισμένης γωνίας.

Η γωνία μπορεί να έχει είτε θετικό είτε αρνητικό προσανατολισμό. Στον θετικό προσανατολισμό προχωράμε αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού και στον αρνητικό κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Έτσι, όταν γράφουμε τη γωνία ABC, πρώτη αναφέρεται η ημιευθεία BA και δεύτερη η ημιευθεία BC. Στη θετική φορά κοιτάμε την ημιευθεία BA και προχωράμε παραπέρα αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Στο παράδειγμά μας παραπάνω θα προέκυπτε το πρώτο σχήμα, η κυρτή γωνία. Αν ορίζαμε αρνητική φορά, θα παίρναμε μη κυρτή γωνία, δηλαδή το δεύτερο σχήμα. Κανονικά χρησιμοποιείται η θετική φορά και σε αυτό το άρθρο οι γραφές θα είναι στη θετική φορά.

Η γωνία αποτελείται λοιπόν από δύο πλευρές, που την περιορίζουν, από την κορυφή της γωνίας, από την οποία ξεκινούν οι ημιευθείες, και από την επιφάνεια που ορίζουν οι πλευρές της γωνίας. Αν έχουμε τη γωνία ABC, οι πλευρές της γωνίας είναι οι BA και BC και η κορυφή είναι το B.

Μέτρο της γωνίας

Όπως μπορούμε να μετρήσουμε το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος, μπορούμε να μετρήσουμε και το μέτρο μιας γωνίας. Αυτό μετριέται είτε στο κλασικό μέτρο σε μοίρες, που σίγουρα ξέρεις, είτε σε ακτίνια. Το μέτρο σε μοίρες είναι απλό: οι 90° είναι ορθή γωνία (για παράδειγμα οι εσωτερικές γωνίες του τετραγώνου είναι καθεμιά 90°), οι 180° είναι ευθεία γωνία (τη σχηματίζουν, για παράδειγμα, αντικείμενες ημιευθείες) και οι 360° είναι πλήρης γωνία (τη σχηματίζουν ημιευθείες που βρίσκονται η μία πάνω στην άλλη – μια τέτοια γωνία αποτελείται από ολόκληρο το γύρω επίπεδο). Η μοίρα χωρίζεται περαιτέρω σε πρώτα λεπτά (συμβολίζονται με ′) και δεύτερα λεπτά (συμβολίζονται με ″). Μία μοίρα έχει 60 πρώτα λεπτά και ένα πρώτο λεπτό έχει εξήντα δεύτερα λεπτά. 1° = 60′ και 1′ = 60″.

Σχήματα των επιμέρους γωνιών:

Το μέτρο σε ακτίνια είναι λίγο πιο δύσκολο να το φανταστείς, γιατί εδώ υπολογίζουμε με ακτίνια, που είναι αδιάστατα. Το μέγεθος του ακτινίου και άλλες ιδιότητες τα έχω ήδη περιγράψει στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οπότε δεν θα τα επαναλάβω.

Τις γωνίες μπορούμε περαιτέρω να τις χωρίσουμε ανάλογα με το μέγεθος σε οξεία γωνία, που έχει λιγότερο από 90°, και σε αμβλεία γωνία, που έχει μεταξύ 90° και 180°. Πρόκειται για ένα είδος υποσυνόλου της κυρτής γωνίας, που έδειξα παραπάνω. Περισσότερο από 180° έχει η μη κυρτή γωνία, που δεν χωρίζεται πια περαιτέρω.

Ζεύγη γωνιών

Ορισμένα ειδικά ζεύγη γωνιών έχουν διάφορες ιδιότητες, που καλό είναι να τις ξέρεις.

• Κατακορυφήν γωνίες είναι οι γωνίες που έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές τους σχηματίζουν αντικείμενες ημιευθείες. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι πάντα ίσες, έχουν το ίδιο μέτρο.

• Εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες είναι οι γωνίες που έχουν τη μία πλευρά κοινή και οι άλλες πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες. Το άθροισμα τέτοιων γωνιών είναι πάντα ίσο με 180°, την ευθεία γωνία.

• Εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι οι γωνίες των οποίων οι πρώτες πλευρές είναι παράλληλες και οι δεύτερες βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Πρέπει επίσης να ισχύει ότι οι γωνίες έχουν τον ίδιο προσανατολισμό. Οι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι ίσες.

Υπάρχουν και άλλα είδη γωνιών, αλλά είναι πια μόνο θέσεις που μπορούν να προκύψουν με βάση αυτές τις τρεις θέσεις που περιγράφηκαν παραπάνω.

Πράξεις με γωνίες

Με τις γωνίες μπορούμε να κάνουμε ορισμένες στοιχειώδεις πράξεις. Η πιο βασική είναι η πρόσθεση. Αριθμητικά δεν υπάρχει σχεδόν τίποτα να χαλάσεις, απλά προσθέτεις τα μέτρα των γωνιών. Αν μια γωνία έχει περισσότερες από 360°, συνήθως τη μετατρέπουμε σε απλούστερη μορφή, κάπου στο διάστημα 0° − 360°. Με λίγα λόγια, σαν να δουλεύεις σε αριθμητικό σύστημα με βάση το τριακόσια εξήντα. Ομοίως, αν σε ένα παράδειγμα έχεις πρώτα ή δεύτερα λεπτά, πρέπει να υπολογίσεις στο εξηκονταδικό σύστημα (όπως στο κανονικό ρολόι).

Λοιπόν, για σιγουριά, ένα ενδεικτικό παράδειγμα. Βρες το άθροισμα αυτών των γωνιών: α = 183° 51′ και β = 222° 24′. Πρώτα υπολογίζουμε τα λεπτά 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (η διαδικασία είναι απλή, διαιρείς το 75 με το εξήντα. Το πηλίκο δίνει τον αριθμό των μοιρών και το υπόλοιπο τον αριθμό των λεπτών που περισσεύουν). Τώρα υπολογίζουμε τις μοίρες: 183° + 222° = 405°. Σε αυτό το μερικό αποτέλεσμα προσθέτουμε το προηγούμενο αποτέλεσμα 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Τώρα αυτή τη γωνία θα τη μειώνουμε κατά 360 μέχρι να βρεθεί στο διάστημα ανάμεσα στο 0 και το 360. Τη μειώνουμε γιατί, αν διαγράψουμε γωνία μέτρου 360°, βρισκόμαστε πάλι στην αρχή, μια γωνία μέτρου 361° θα έχει στο χαρτί το ίδιο μέγεθος με μια γωνία μέτρου 1°. Φτάνουμε σε αυτόν τον υπολογισμό: 406° 15′ = 46° 15′.

• Βικιπαίδεια