Πώς να κατασκευάσεις τρίγωνο

Το τρίγωνο είναι πολύγωνο που έχει ακριβώς τρεις πλευρές. Τις πλευρές αυτές τις συμβολίζουμε με μικρά γράμματα, συνήθως a, b, c. Το τρίγωνο έχει επίσης τρεις κορυφές, που τις συμβολίζουμε με κεφαλαία γράμματα, συνήθως A, B, C. Η πλευρά a αντιστοιχεί στο τμήμα BC, η πλευρά b στο τμήμα AC και η πλευρά c στο τμήμα AB. Η πλευρά a βρίσκεται πάντα απέναντι από την κορυφή A, και αντίστοιχα για τις άλλες πλευρές.

Ξέρουμε και τις τρεις πλευρές

Αν ξέρουμε τα μήκη και των τριών πλευρών, η κατασκευή του τριγώνου είναι παιχνιδάκι. Διαλέγουμε μία από τις πλευρές, ας πούμε την AB, και τη σχεδιάζουμε σαν ένα συνηθισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Μετά πρέπει να βρούμε πού βρίσκεται το τρίτο σημείο. Αυτό γίνεται εύκολα: παίρνουμε το διαβήτη, καρφώνουμε τη μύτη του στο σημείο B και χαράζουμε κύκλο με ακτίνα ίση με το μήκος της πλευράς BC, ας πούμε πέντε εκατοστά. Έτσι βρίσκουμε πού θα μπορούσε να βρίσκεται το σημείο C, ώστε να απέχει από το σημείο B ακριβώς πέντε εκατοστά. Μετά κάνουμε το ίδιο με την πλευρά AC και το σημείο A. Τώρα έχουμε δύο κύκλους και το σημείο τομής τους είναι ένα σημείο που απέχει από την κορυφή A όσα εκατοστά πρέπει και από το σημείο B επίσης.

Ξέρουμε δύο πλευρές και το ύψος

Κάθε πλευρά του τριγώνου έχει το δικό της ύψος, που ορίζεται ως η κάθετος από την απέναντι κορυφή προς την πλευρά αυτή. Αν η κάθετος δεν τέμνει απευθείας την πλευρά, πρέπει να προεκτείνουμε την πλευρά μέχρι το σημείο όπου τέμνεται με την κάθετο. Βασική ιδιότητα του ύψους είναι λοιπόν ότι είναι κάθετο στην πλευρά στην οποία αντιστοιχεί. Αυτό χρησιμοποιείται συχνά στις ασκήσεις με υπολογισμούς, γιατί μπορούμε να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Το ύψος προς την πλευρά c συνήθως γράφεται με το μικρό γράμμα υ και ως κάτω δείκτη το σύμβολο της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί το ύψος. Δηλαδή στην περίπτωσή μας υ_c. Το ίχνος της καθέτου (το σημείο τομής της πλευράς με την κάθετο) συμβολίζεται παρόμοια, μόνο που αντί για το μικρό υ γράφουμε το κεφαλαίο P: P_c.

Φέραμε το ύψος από την κορυφή C. Το δεύτερο σημείο βρίσκεται στην απέναντι πλευρά AB (δηλαδή την πλευρά c) και το τμήμα CP_c είναι κάθετο στην πλευρά c. Το σημείο P_c λέγεται ίχνος του ύψους· την πλευρά c τη λέμε βάση. Το ίχνος το ονομάζουμε συνήθως με το γράμμα P και ως κάτω δείκτη την κορυφή από την οποία ξεκινά το ύψος. Σε αυτή την περίπτωση είναι η κορυφή C.

Το ύψος σχεδιάζεται αρκετά εύκολα: παίρνεις τον χάρακα και φέρνεις κάθετο στην πλευρά c έτσι ώστε η κάθετος αυτή να περνά ακριβώς από το σημείο C. Αυτό είναι όλο.

Ύψος μπορούμε να φέρουμε από κάθε κορυφή του τριγώνου. Όλα τα ύψη τέμνονται σε ένα σημείο που λέγεται ορθόκεντρο. Το ορθόκεντρο μπορεί να βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο, αλλά μπορεί και όχι. Στην περίπτωση του οξυγώνιου τριγώνου το ορθόκεντρο βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο.

Ξέρουμε δύο πλευρές και τη διάμεσο

Εκτός από το ύψος, κάθε τρίγωνο έχει και τρεις διαμέσους. Διάμεσος είναι το τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Και οι τρεις διάμεσοι τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, που λέγεται βαρύκεντρο. Το βαρύκεντρο χωρίζει κάθε διάμεσο πάντα σε λόγο 2:1 – το κομμάτι της διαμέσου πριν από το βαρύκεντρο είναι είτε δύο φορές μικρότερο είτε δύο φορές μεγαλύτερο από το άλλο κομμάτι, μετά το βαρύκεντρο. Τις διαμέσους τις συμβολίζουμε με το μικρό γράμμα μ και ως κάτω δείκτη την πλευρά στην οποία αντιστοιχούν. Το βαρύκεντρο συνήθως το ονομάζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα G.

Αν ξέρεις δύο πλευρές και τη διάμεσο προς μία από αυτές τις δύο πλευρές, κατασκευάζεις το τρίγωνο πολύ εύκολα. Ξεκινάς πάλι σχεδιάζοντας την πλευρά AB και μετά βρίσκεις πού βρίσκεται το σημείο C, φέρνοντας δύο κύκλους: ο πρώτος έχει κέντρο το σημείο B (ή το A, αν ξέρεις το μήκος AC) και ο δεύτερος έχει κέντρο το μέσο της πλευράς AB. Το σημείο όπου τέμνονται οι κύκλοι είναι το ζητούμενο σημείο C. Η διαδικασία είναι ίδια με την κατασκευή από τρεις πλευρές· απλώς αντί για το τρίγωνο ABC σχεδιάζεις πρώτα το τρίγωνο M_cBC, από το οποίο βρίσκεις τη ζητούμενη κορυφή C.

Ξέρουμε δύο πλευρές και μια άλλη διάμεσο

Πρώτα κοίτα το σκίτσο, για να δεις πώς περίπου πρέπει να βγει:

Τα στοιχεία που είναι σημειωμένα με κόκκινο τα ξέρουμε και με βάση αυτά πρέπει να κατασκευάσουμε ολόκληρο το τρίγωνο. Η διαδικασία είναι η εξής – συμπληρώνουμε το τρίγωνο σε τετράπλευρο και με βάση το τετράπλευρο σχεδιάζουμε τα υπόλοιπα. Το εξηγεί καθαρά το επόμενο σχήμα (θυμίζω ότι το μήκος BD ισούται με το διπλάσιο του μήκους μ_b).

Αυτό το τετράπλευρο το κατασκευάζουμε απλά. Πρώτα κατασκευάζουμε το τρίγωνο ABD. Το μήκος της πλευράς AB το ξέρουμε, το μήκος της πλευράς BD είναι 2μ_b και το AD είναι ίσο με το μήκος BC. Το σημείο C το βρίσκουμε με δύο τρόπους. Ο πρώτος: βρίσκουμε το σημείο M_b, που είναι το μέσο του τμήματος BD, και μετά φέρνουμε την ημιευθεία AM_b, οπότε το μήκος AC είναι το μήκος 2AM_b. Ο δεύτερος τρόπος είναι να φέρουμε ευθεία παράλληλη προς την πλευρά AB, και το σημείο C θα βρίσκεται σε αυτή την ευθεία και θα απέχει από το σημείο D απόσταση |AB|.