Ευθεία

Η ευθεία είναι το δεύτερο πιο απλό γεωμετρικό σχήμα και είναι μονοδιάστατη (έχει σαν να λέμε μόνο μήκος). Η ευθεία είναι, απλά διατυπωμένα, μια άπειρα μακριά ίσια γραμμή που δεν έχει ούτε τέλος ούτε αρχή.

Βασικές ιδιότητες

Την ευθεία τη συμβολίζουμε συνήθως με ένα μικρό γράμμα, για παράδειγμα ε. Η ευθεία συνήθως δίνεται με δύο σημεία, αφού από δύο σημεία διέρχεται ακριβώς μία ευθεία. Υπάρχει και η ημιευθεία, που μοιάζει με την ευθεία, με τη διαφορά ότι έχει αρχή (αλλά και πάλι δεν έχει τέλος). Για παράδειγμα, οι πλευρές των γωνιών είναι ημιευθείες.

Γραφή της ευθείας στο επίπεδο

Αν βρισκόμαστε στο επίπεδο, μπορούμε να γράψουμε την ευθεία με τη βοήθεια μιας γραμμικής συνάρτησης, της οποίας η γραφική παράσταση είναι πάντα ευθεία. Δυστυχώς, αυτή η μέθοδος αποτυγχάνει στο χώρο, αφού με μια γραμμική συνάρτηση δεν μπορείς να προσδιορίσεις την τρίτη διάσταση. Στο επίπεδο όμως η γραφή με γραμμική συνάρτηση είναι ο πιο απλός τρόπος να περιγράψεις οποιαδήποτε ευθεία που δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα y'y. Αν έχεις δοσμένη τη συνάρτηση, σίγουρα μπορείς εύκολα να σχεδιάσεις την ευθεία, αντίστροφα όμως μπορεί να είναι πρόβλημα. Ας πούμε λοιπόν ότι έχουμε σχεδιασμένη την εξής ευθεία:

Ο τύπος της γραμμικής συνάρτησης έχει τη μορφή: y = α x + β. Πρώτα βρίσκουμε το β, τον σταθερό όρο. Τον βρίσκουμε πιο εύκολα, αν διαβάσουμε από το γράφημα πού τέμνει η ευθεία τον άξονα y'y, όταν το x είναι ίσο με μηδέν. Βλέπουμε ότι είναι το δύο, άρα θα είναι β = 2. Αυτό συμβαίνει επειδή, όταν ο όρος με το x είναι ίσος με μηδέν, ο μόνος τρόπος να πάρουμε για το y στον τύπο y = α x + β το δύο είναι ο σταθερός όρος να ισούται με δύο.

Τώρα πρέπει να βρούμε με τι ισούται το α. Τώρα θα είναι πιο βολικό, αν για λίγο καταργήσουμε τον σταθερό όρο και υποθέσουμε ότι είναι μηδέν. Η ευθεία τότε μετακινείται στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων και βρίσκουμε πιο εύκολα το α:

Βλέπουμε καθαρά ότι στο σημείο x = 6 το y έχει τιμή 2. Αυτή την πληροφορία την αντικαθιστούμε στον τύπο της συνάρτησης: 6α + 0 = 2. Από αυτό υπολογίζουμε εύκολα ότι $\alpha =\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Τώρα βρήκαμε την τιμή του α και μπορούμε να γράψουμε ολόκληρο τον τύπο της συνάρτησης, άρα και της ευθείας: y=1/3x+2.

$$y=\frac{x}{3}+2$$

Σχετικές θέσεις ευθειών

Δύο ευθείες στο επίπεδο μπορούν να έχουν διάφορες σχετικές θέσεις. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με τις σχετικές θέσεις στο επίπεδο.

Αν έχεις δύο ευθείες που βρίσκονται η μία πάνω στην άλλη και ταυτίζονται σε μία – τέμνονται σε όλα τα σημεία, λέγονται ταυτιζόμενες ευθείες. Αν οι ευθείες τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, λέγονται τεμνόμενες ευθείες. Αν οι ευθείες δεν τέμνονται σε κανένα σημείο, λέγονται παράλληλες ευθείες. Οι παράλληλες ευθείες συνήθως σημειώνονται με δύο τέτοιες μικρές γραμμές πάνω σε κάθε ευθεία, δες το τελευταίο σχήμα. Συνοπτικά τα δείχνουν τα παρακάτω σχήματα:

Πώς θα βρεις τη σχετική θέση ευθειών θα μάθεις σε ξεχωριστό άρθρο στο τμήμα αναλυτική γεωμετρία. Στην ίδια κατηγορία θα βρεις και τη διαδικασία για να βρεις τη γενική εξίσωση ευθείας, τις παραμετρικές εξισώσεις ευθείας ή τη μορφή της ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης.