Función logarítmica

La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial.

Qué es un logaritmo

La función logarítmica se escribe con la palabra log; si se trata del logaritmo neperiano (véase más adelante), lo escribimos ln. La expresión básica de la función logarítmica es esta:

$$y={\log }_{a}x$$

Esta notación se lee: «Logaritmo en base a de x». Esta función logarítmica es inversa de la función exponencial f(x) = a^x. El valor de la función logarítmica se llama logaritmo.

Como la función logarítmica es inversa de la exponencial, tiene que cumplirse la siguiente equivalencia:

$$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$$

Es decir, si el valor de a^y es igual a x, entonces el logaritmo de x en base a es igual a y. Veamos algunos ejemplos. Tomemos la función exponencial f(x) = 2^x. ¿Qué aspecto tendría la función inversa (logarítmica)? Este: f⁻¹(x) = log₂x. Si sustituimos el tres en la función exponencial, obtenemos: f(3) = 2³ = 8.

¿Qué relación tiene que cumplirse ahora? Tiene que cumplirse que, si introducimos el ocho en la función inversa f⁻¹, la función logarítmica nos devuelva el tres. Porque el número 3 era el argumento de la función exponencial y el número 8 era el resultado. La función inversa se comporta al revés: la entrada es el número 8 y la salida es el número 3. Por ahora puedes comprobar que realmente es así, por ejemplo, en Google (lg denota aquí el logaritmo en base dos).

Así que, si escribimos 2³ = 8, la función logarítmica inversa nos da la relación log₂8 = 3. ¿Qué es, entonces, un logaritmo? El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el argumento x.

Funciones logarítmicas importantes

Algunas funciones logarítmicas son especialmente importantes. En concreto, se trata del «logaritmo neperiano», que tiene como base el número de Euler. Lo designamos con la letra e. Es un número irracional, es decir, un número con un desarrollo decimal infinito no periódico. Su valor aproximado es: e = 2,718 281.828…. El logaritmo neperiano lo escribimos como log_ex o, más sencillamente, como ln x. Esa «n» viene del latín «logarithmus naturalis», por eso también se le llama «logaritmo natural».

Otro logaritmo significativo es el «logaritmo decimal», que es la función logarítmica de base diez. Normalmente lo escribimos como log₁₀x o simplemente log x. Si en un logaritmo no se indica la base, se supone que es 10.

Propiedades de la función logarítmica

Como ya sabemos, la función logarítmica es inversa de la exponencial. Gracias a ello hereda también algunas de sus propiedades y restricciones. Sabemos que la función exponencial tiene la forma f(x) = a^x, donde a es un número real mayor que cero y distinto de uno. Por eso también la base del logaritmo a tiene que ser mayor que cero y distinta de uno. Así que, una vez más, la expresión de la función logarítmica:

$$y={\log }_{a}x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Como se trata de una función inversa, ya conocemos también el dominio y el recorrido. El dominio de la función logarítmica es igual al recorrido de la función exponencial, así que el dominio de la función logarítmica es igual a (0, +∞). El recorrido del logaritmo es entonces igual al dominio de la función exponencial, es decir, el conjunto de todos los números reales.

Gráficas de las funciones logarítmicas

De forma análoga a la función exponencial, tenemos que distinguir dos casos. Cuando la base a pertenece al intervalo (0, 1) y cuando pertenece al intervalo (1, +∞). En el primer caso, es decir, cuando a pertenece al intervalo (0, 1), la gráfica tiene este aspecto:

Cuando la base a pertenece al intervalo (1, +∞), la gráfica tiene este aspecto:

Observa también la gráfica de la función exponencial y de su inversa logarítmica en una misma gráfica (en azul el logaritmo, en rojo la función exponencial):

Por qué las gráficas pasan por el punto (1, 0)

Ambas gráficas cortan el eje x en el punto x = 1. Es lo normal, dado que toda función exponencial pasa por el punto (0, 1). Como el logaritmo es una función inversa, esta función tiene que pasar siempre por el punto (1, 0). Tiene su lógica. Si la gráfica pasa por el punto (1, 0), significa que para la entrada de la función x = 1 tenemos la salida f(x) = 0.

En el caso de los logaritmos, esto significa que buscamos el exponente al que hay que elevar la base para obtener uno. ¿Cuál es ese exponente? Solo el cero. Cualquier número elevado a cero es uno; por eso, sea cual sea la base, la función logarítmica pasará por el punto (1, 0), porque cualquier número elevado a cero es uno. (Nota: no olvides que la base no puede ser cualquiera: a>0 y a ≠ 1.)

Propiedades de los logaritmos (fórmulas)

A continuación se recogen algunas relaciones y fórmulas importantes de los logaritmos:

Supongamos que la base a es realmente la base de un logaritmo, es decir, a>0, a ≠ 1. Además, sean x₁ y x₂ números reales positivos cualesquiera. Entonces se cumple:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_a(x_1\cdot x_2)& =& {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {\log }_a{x}_1-{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a{x}^r& =& r\cdot {\log }_{a}x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {\log }_a\sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{\log }_{a}x\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Algunas relaciones que se deducen directamente de la definición de logaritmo:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_{a}1& =& 0(a^0=1)\\ {\log }_{a}a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{\log }_{a}x}& =& {\log }_a{a}^x=x\end{array}$$

Cómo expresar otro logaritmo mediante el logaritmo neperiano

A veces ocurre que, por ejemplo, en la calculadora no tenemos a nuestra disposición el logaritmo de una base cualquiera, sino solo el neperiano y el decimal. ¿Qué hacer si necesitas calcular un logaritmo de otra base? Existe una fórmula que te ayudará. Se cumple que:

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

Si elegimos como valor de b el número de Euler, obtenemos la fórmula:

$${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

En el primer apartado necesitábamos calcular el logaritmo del número 8 en base 2. Con ayuda del logaritmo neperiano podemos calcularlo así:

$${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

El cálculo se puede comprobar de nuevo en Google. Pero no es necesario usar el logaritmo neperiano; puedes usar perfectamente también el decimal, la fórmula lo permite. Así que igualmente se cumple:

$${\log }_{2}8=\frac{\log 8}{\log 2}=3$$

(No olvides que, si no se indica la base, se supone la base a = 10.) Otra vez, comprobación en Google.