Operaciones con fracciones

Con una fracción podemos escribir cualquier número racional. Una fracción consta de dos partes. La parte de arriba se llama numerador y la de abajo, denominador. También existe la fracción compuesta, que no es más que una fracción que tiene otra fracción en el numerador o en el denominador. Y, por cierto, todos los signos entre fracciones (más, menos, igual, etc.) se escriben siempre a la altura de la raya de fracción, no a la altura del numerador ni a la del denominador. Y, por si fuera poco, ¿sabías que cinco de cada cuatro personas tienen problemas con las fracciones?

Lo básico

Una fracción tiene la forma siguiente:

$$\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}$$

Un ejemplo de fracción es

$$\frac{2}{5},$$

es decir, dos quintos. El denominador se llama así porque da nombre a la fracción. Quinto, tercio, sexto… ese es el nombre principal de la fracción y deriva del número que está debajo de la raya de fracción. El numerador, en cambio, indica la cantidad; en el ejemplo anterior eran dos quintos. Hasta aquí los nombres.

En el numerador y en el denominador puede haber, en principio, cualquier número o de nuevo una fracción, pero lo más frecuente es encontrarse con una fracción cuyo numerador y denominador son números naturales.

Una fracción es solo otra forma de escribir una división: el valor de la fracción se calcula dividiendo el numerador entre el denominador. Así que, en general, si tenemos una fracción $\frac{a}{b}$, el valor de la fracción es el número a/b. La fracción anterior (dos quintos) tendría entonces el valor 2/5, que es 0,4.

Fracción irreducible

Con las fracciones podemos trabajar de varias formas y cambiar su aspecto —amplificarlas y simplificarlas— sin que el valor de la fracción cambie en absoluto. Es fácil imaginarlo con palabras: por ejemplo, un medio tiene el mismo valor que dos cuartos o cuatro octavos. Esto se debe a que una fracción es una división con otro disfraz. Y al número un medio podemos llegar dividiendo varios pares de números distintos. Cuatro entre ocho es un medio. Diez entre veinte también es un medio. Por eso las fracciones

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

tienen el mismo valor.

Como se ve, hemos obtenido las demás fracciones con el mismo valor multiplicando por dos tanto el numerador como el denominador de la fracción original 1/2. Al multiplicar salió la fracción 2/4, dos cuartos. Si multiplicamos también el numerador y el denominador de esta fracción por dos, obtenemos la fracción 4/8, cuatro octavos. Lo que hemos hecho es amplificar la fracción.

La operación contraria a la amplificación es la simplificación de fracciones, en la que dividimos el numerador y el denominador entre el mismo número. Si queremos simplificar una fracción, tenemos que encontrar un número entre el que sean divisibles exactamente tanto el numerador como el denominador. En la práctica la simplificación se usa muchísimo, porque al simplificar la fracción se vuelve mucho más sencilla y es más fácil trabajar con ella. Si tuviéramos la fracción 12/18, de un vistazo vemos que los dos números son pares, por tanto divisibles entre dos. Por supuesto, podríamos simplificar la fracción entre dos, pero, si miramos mejor, vemos que el numerador y el denominador también son divisibles entre seis. Si simplificamos la fracción entre seis, resulta una fracción más sencilla que si la simplificáramos solo entre dos. Por eso simplificamos la fracción entre seis. Sale la fracción 2/3.

Esta fracción ya no se puede simplificar más: no existe ningún número (mayor que uno) entre el que podamos dividir exactamente tanto el numerador como el denominador. Una fracción que ya no se puede simplificar más se llama fracción irreducible. Procura trabajar siempre con fracciones irreducibles; cuando vayas a trabajar con fracciones, mira primero si alguna se puede simplificar. Te ahorrarás tiempo. Otro ejemplo:

$$\frac{24}{42}$$

¿Entre qué número son divisibles a la vez 24 y 42? Los dos son pares, así que seguro que entre dos. Dividimos el numerador y el denominador entre dos:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

¿Existe algún número que divida a la vez a los dos? Sí, esta vez el tres.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

¿Sigue existiendo algún número que divida al numerador y al denominador? No existe, la fracción es irreducible.

Multiplicación de fracciones

Quizá te sorprenda, pero multiplicar y dividir fracciones es más sencillo que sumarlas y restarlas. Si tienes que multiplicar dos fracciones, simplemente multiplicas el numerador de la primera por el numerador de la segunda y el denominador por el denominador. Eso es todo. Un ejemplo de multiplicación de fracciones:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Al multiplicar fracciones existe además otra forma de simplificar. No hace falta simplificar solo dentro de una misma fracción, también se puede simplificar en cruz. Si se puede simplificar el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda, puedes hacerlo y facilitarte la multiplicación. Ejemplo (los números simplificados están resaltados):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

¿Qué hemos hecho? Hemos dividido el cuatro y el ocho entre cuatro. El valor del producto no ha cambiado. Si no lo hubiéramos simplificado ahora, podríamos haberlo simplificado después de multiplicar.

La multiplicación de una fracción por un número entero se reduce sencillamente a la multiplicación de dos fracciones escribiendo el número entero c como c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Como se ve, si multiplicas una fracción por un número entero, basta con multiplicar por ese número el numerador de la fracción.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

División de fracciones

La división de fracciones es prácticamente igual que la multiplicación. Si quieres dividir una fracción entre otra, das la vuelta a la segunda fracción (el divisor) y multiplicas las fracciones normalmente. Un ejemplo sencillo de división de fracciones (fíjate en que, después de dar la vuelta a la fracción, podemos simplificar 12 y 6):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Hemos convertido la división en una multiplicación dando la vuelta a la fracción $\frac{6}{11}$ para obtener la fracción $\frac{11}{6}$ y multiplicándola por la otra fracción sin cambiar. ¿Por qué funciona así? Basta con imaginarlo en un ejemplo más sencillo, por ejemplo la división entre un medio. Si dividimos

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

¿qué estamos haciendo en realidad? Averiguamos cuántas veces cabe un medio en diez. En cada unidad el medio cabe exactamente dos veces (dos por un medio es uno), así que en diez cabe veinte veces. Llegamos al mismo resultado si multiplicamos dos por diez, que también es veinte. ¿Y qué valor obtenemos cuando damos la vuelta a un medio? Dos enteros, es decir, dos.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Por tanto, en total tenemos:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Suma de fracciones

La suma de fracciones ya suele ser algo más complicada. Solo podemos sumar fracciones si tienen el mismo denominador. Si las fracciones no tienen el mismo denominador, tenemos que reducirlas a común denominador. Después procedemos sencillamente como en la multiplicación: sumamos el numerador de la primera fracción con el numerador de la segunda. A diferencia de la multiplicación, sin embargo, dejamos el mismo denominador. Primero un ejemplo de suma de fracciones con el mismo denominador:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

¿Tiene sentido? Un medio más cinco medios es igual a seis medios; eso tiene bastante sentido.

Si las fracciones no tienen el mismo denominador, que es el caso más frecuente, tenemos que reducirlas a común denominador, lo cual significa amplificar una de las fracciones o las dos para obtener el mismo denominador. Queremos sumar estas dos fracciones:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

La primera fracción tiene un tres en el denominador y la segunda un dos. Así es difícil sumarlas, pero si amplificamos la primera fracción por dos, tendrá un seis en el denominador, y si amplificamos la segunda por tres, también tendrá un seis en el denominador. Ahora las dos fracciones ya tienen el mismo denominador y podemos sumarlas sin problema. Así que en el primer paso amplificamos las fracciones para que tengan el mismo denominador:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Y ahora solo sumamos los numeradores y dejamos el mismo denominador:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Ojo: al sumar no podemos simplificar entre fracciones distintas como en la multiplicación. Por ejemplo, tras la transformación teníamos un seis en el denominador de la primera fracción y un quince en el numerador de la segunda. Aun así, no podemos simplificar entre tres:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Esta simplificación solo nos la podríamos permitir si multiplicáramos esas fracciones:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

¿Cómo se reducen en general dos fracciones a común denominador? Amplificamos la primera fracción por el denominador de la segunda y la segunda fracción por el denominador de la primera. En general podemos escribirlo así:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Hemos amplificado la primera fracción por d, que es el denominador de la segunda. Hemos amplificado la segunda fracción por b, que es el denominador de la primera. Un ejemplo concreto:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Hemos amplificado la primera fracción por ocho y la segunda por cuatro. Hecho esto, ya podemos sumar las fracciones.

La fórmula general para sumar fracciones sería entonces esta:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Resta de fracciones

La resta de fracciones se hace exactamente igual que la suma, solo que los numeradores resultantes no se suman, sino que se restan. Así que la fórmula general anterior de la suma se transforma de este modo:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Un ejemplo concreto; primero reducimos a común denominador:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Y ahora solo restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Multiplicación en cruz

En el caso de las ecuaciones podemos usar la multiplicación en cruz, que simplifica una igualdad de dos fracciones. En la práctica no es más que dos transformaciones equivalentes de la ecuación dada. Así que tomemos una ecuación con dos fracciones

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Podemos transformar esta ecuación multiplicándola por el denominador de la primera fracción y después por el de la segunda. Primero multiplicamos la ecuación por el denominador de la primera fracción, es decir, por la expresión b. Obtenemos

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Después multiplicamos la ecuación por la expresión d y obtenemos

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

En la primera fracción simplificamos b y en la segunda d. El resultado es la ecuación

$$ad=bc.$$

Podemos considerarlo, pues, una fórmula: si tenemos una ecuación en forma de dos fracciones, podemos transformarla así:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

A continuación, un ejemplo. En el primer paso escribimos las fracciones según la fórmula anterior y en el segundo solo transformamos ligeramente las expresiones de ambos lados.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Después la ecuación se resolvería como una ecuación de segundo grado normal, pero eso ya queda fuera del tema de este artículo.

Temas relacionados

Las fracciones aparecen a menudo en tareas de simplificación de expresiones; de ello se ocupa el artículo sobre fracciones algebraicas. Además existe un algoritmo especial para la división de polinomios entre polinomios.