Raíces

La raíz es la función inversa parcial de la potencia. Lo más habitual es trabajar con la raíz cuadrada, que busca el número que, multiplicado por sí mismo, da el número original del que hemos calculado la raíz.

Raíz cuadrada

Para la raíz se usa el símbolo $\sqrt{}$. Para no tener que escribir el argumento de la raíz entre paréntesis, así: $\sqrt{}$(25), se traza una línea horizontal sobre todo el argumento (la expresión de la que queremos calcular la raíz), así: $\sqrt{25}$.

Al principio nos ocuparemos solo de la raíz cuadrada de un número real. La definiríamos así:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Si multiplicas la raíz del número a por la raíz del número a, obtienes el número a. Así, para el número 9 la raíz sería igual a 3, porque se cumple 3 · 3 = 9.

La expresión anterior también podemos escribirla así:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Es solo otra forma de escribir la multiplicación anterior, concretamente mediante una potencia.

Un hecho importante es que esta igualdad solo se cumple para los a que pertenecen al dominio de la raíz. En efecto, no podemos calcular la raíz de un número negativo. Podemos calcular la raíz de cualquier número positivo, podemos calcular la raíz de cero, pero no sabemos calcular la raíz de un número negativo. ¿Por qué no se puede?

Supongamos que queremos calcular la raíz de −25. En principio tenemos dos posibilidades para elegir el número: positivo o negativo. Si elegimos uno positivo, tenemos 5 · 5 = 25. Es cierto que hemos obtenido 25, pero nosotros queremos −25. Probamos entonces con −5; pero al multiplicar obtenemos de nuevo 25. En resumen, si multiplicas dos números negativos, obtienes un número positivo. Lo mismo ocurre al multiplicar dos números positivos. Tendrías que multiplicar −5 · 5 para obtener −25, y eso no vale: estás multiplicando dos números distintos, aunque solo se diferencien en el signo. Por eso no se puede calcular la raíz de un número negativo.

Raíz n-ésima

Del mismo modo que podemos elevar una expresión al cuadrado, al cubo o a la cuarta, también podemos tener la raíz cúbica, la raíz cuarta y, por último, la raíz n-ésima de un número real. Normalmente se escribe sobre el símbolo de la raíz, así:

$$\sqrt[5]{32}$$

Esta notación indica la raíz quinta del número treinta y dos. La raíz n-ésima se define mediante la potencia n-ésima así:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in \mathbb{N},a,b\ge 0$$

Si sustituimos n por dos, obtenemos la raíz cuadrada tal como la hemos definido hace un momento. De forma abreviada también podríamos definirla así:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Por convenio, en la raíz cuadrada no hace falta escribir el dos, es decir, estas notaciones son equivalentes:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Así, por ejemplo, para la raíz cuarta se cumpliría:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

Y un ejemplo concreto:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Y, al revés, se cumple 4 · 4 · 4 = 64.

Raíz de un número negativo

Ya sabemos que no existe la raíz cuadrada de un número negativo, porque a², donde a es un número real, nunca será negativo. Sin embargo, en las raíces de otros índices no multiplicamos solo dos veces, así que puede haber casos en los que exista la raíz n-ésima de un número negativo. ¿Cómo es entonces?

Nos molestaba que, al multiplicar un número negativo dos veces, obtuviéramos un número positivo. Para el resultado −25 necesitábamos el producto −5 · 5. Pero ¿qué ocurre cuando multiplicamos tres números negativos? Tras multiplicar los dos primeros números negativos tenemos un número positivo. Pero al multiplicar por el último número negativo volvemos a tener un número negativo. Si multiplicáramos una vez más (cuatro veces en total), estaríamos de nuevo entre los números positivos.

La conclusión es que, si multiplicamos n veces un número negativo, cuando n es par el producto es positivo y cuando es impar el producto es negativo. De aquí deducimos que existe la raíz n-ésima de un número negativo cuando n es impar. Ejemplo:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Paso a potencia

Podemos convertir fácilmente las raíces en potencias, y esto se hace a menudo porque luego resulta más cómodo trabajar con las raíces. Se cumple la siguiente relación:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Si tenemos la raíz n-ésima de a, es lo mismo que si elevásemos a a 1/n. Esto también te puede venir bien cuando necesites introducir en algún sitio una raíz de índice mayor que dos. A menudo no se puede hacer directamente, pero sí se puede poner una fracción en el exponente. Si quieres dibujar la gráfica de la raíz cuarta, pide la gráfica de la función

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Lo que más se usa es el paso de la raíz cuadrada:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Fórmulas para las raíces

Como la raíz se puede convertir fácilmente en potencia, las expresiones con raíces heredan las fórmulas de las potencias generales. Por tanto, se cumplen las siguientes relaciones:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Al mismo tiempo se cumplen estas relaciones básicas:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Extraer factores de un radical

Extraer factores de un radical es una técnica que se usa para simplificar raíces y aprovecha una de las fórmulas anteriores:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

En efecto, algunas expresiones bajo la raíz podemos descomponerlas en un producto, escribirlas después como dos raíces y, por último, calcular una de esas raíces. Un ejemplo típico es este:

$$\sqrt{4x}$$

Según la fórmula anterior, esta expresión podemos reescribirla así:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

Y ahora podemos calcular la raíz del cuatro:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

De forma parecida podemos reescribir también un número corriente si queremos conservar la forma exacta. Un ejemplo:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$