Cálculo con porcentajes

Los porcentajes suelen indicar una parte relativa de un total, y el total como tal se expresa como el 100 %. Los porcentajes siempre se pueden escribir como una fracción.

El porcentaje como parte de un total

Usamos los porcentajes cuando queremos expresar una parte de un total. Con porcentajes podemos sustituir expresiones como «una cuarta parte de la clase ha sacado un suspenso» o «una de cada dos personas es hombre». Siempre tenemos un total, por ejemplo toda la clase, y además decimos que una cuarta parte de ellos ha sacado un suspenso. Si en la clase hay 32 alumnos y una cuarta parte de ellos ha sacado un suspenso, el número total de alumnos que han sacado un suspenso será igual a:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{que es lo mismo que}\frac{32}{4}=8$$

En el segundo caso podemos tener una ciudad, digamos Ponferrada. Tiene aproximadamente 60.000 habitantes. Si una de cada dos personas es hombre, eso significa que la mitad de ellos son hombres, y lo escribimos como:

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{que es lo mismo que}\frac{60.000}{2}=30.000$$

Además, podríamos decir que «uno de cada cien habitantes de Ponferrada es matemático». Entonces se cumpliría que en Ponferrada tenemos $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$ matemáticos. «Uno de cada cien» es lo mismo que «una centésima parte de los habitantes».

Ahora podemos introducir el concepto de porcentaje. Un por ciento, que escribimos 1 %, significa una centésima parte del total. Esto quiere decir que, cuando decimos que «uno de cada cien habitantes de Ponferrada es matemático» y «el uno por ciento de los habitantes de Ponferrada son matemáticos», estamos diciendo lo mismo. El uno por ciento de un total se calcula multiplicando el total por $\frac{1}{100}$ o dividiéndolo entre 100, que es lo mismo.

Los porcentajes se pueden convertir fácilmente en fracciones y seguir trabajando con ellas. Si dijéramos que «en Ponferrada el x % de las personas tiene el pelo oscuro», sería lo mismo que decir «en Ponferrada $\frac{x}{100}\cdot 60.000$ personas tienen el pelo oscuro». El 100 % representa entonces el total, es decir, a todos los habitantes. La frase «el 100 % de los alumnos ha pasado de curso» significa que han pasado todos los alumnos. La frase «el 0 % de los alumnos ha suspendido» dice que nadie ha suspendido. Ejemplos:

1. El 35 % de los habitantes de Ponferrada va en autobús. ¿Cuántas personas van en autobús? El 35 % es lo mismo que $\frac{35}{100}$ del total (= «treinta y cinco centésimas del total»). Calculamos así: $\frac{35}{100}\cdot 60.000$. Se puede calcular fácilmente dividiendo primero 60.000 entre cien y multiplicando ese resultado por 35. En el fondo hacemos esta transformación:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60.000=\frac{35\cdot 60.000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21.000$$

   Podemos imaginarlo así: primero calculamos el número de habitantes que corresponde al uno por ciento: $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$. Al uno por ciento le corresponden 600 habitantes. Nosotros queremos saber el 35 % de los habitantes, así que solo multiplicamos esos 600 habitantes: 35 · 600 = 21.000.

2. Tomás gana de media 20 € al día. Hoy ha ganado solo el 75 % de su sueldo medio. ¿Cuánto ha ganado Tomás? El procedimiento sigue siendo el mismo. El total es 20 y convertimos el 75 % en la fracción $\frac{75}{100}$. Esta fracción todavía se puede simplificar a la fracción $\frac{3}{4}$. Multiplicamos el total por esta fracción:

   $$\frac{3}{4}\cdot 20=\frac{3\cdot 20}{4}=3\cdot 5=15$$

3. Al día siguiente Tomás se dio un capricho y ganó el 150 % de su sueldo medio. ¿Cuánto ganó? ¿Podemos tener siquiera más del 100 % si hemos dicho que el 100 % representa el total? Sí, se puede. Igual que alguien puede ganar «tres veces más dinero que de media», alguien puede ganar el 150 % de su media.

   Procederemos exactamente igual. Convertimos el 150 % en la fracción $\frac{150}{100}$ y con esta fracción multiplicamos el sueldo medio de Tomás, es decir, 20:

   $$\frac{150}{100}\cdot 20=\frac{150\cdot 20}{100}=\frac{150}{5}=30$$

El porcentaje como regla de tres

Una parte de un total expresada mediante porcentajes se puede convertir fácilmente en una regla de tres. Quedémonos con Tomás, que de media gana 20 € al día y hoy ha ganado el 75 % de su sueldo medio. Con una regla de tres podemos escribirlo así:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 20\text{ euros}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ euros}\end{array}$$

Como se trata de una proporcionalidad directa, obtenemos la forma:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{20}$$

Multiplicamos la ecuación por 20 y tenemos:

$$\frac{75\cdot 20}{100}=x$$

Y de ahí ya se calcula fácilmente el resultado:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 20}{100}& =& x\\ \frac{75}{5}& =& x\\ x& =& 15\end{array}$$

Vemos que nos ha salido el mismo número.

¿Y si conocemos la parte y no el total?

En los ejemplos anteriores siempre contábamos con que conocemos el valor exacto del total y tenemos que calcular una parte determinada, dada en porcentaje. Pero ¿y si conocemos justamente la parte y no conocemos el total? Ejemplo: Tomás tiene 120 cartas coleccionables con un gran monstruo verde. Sin embargo, a pesar de que es una cantidad respetable de cartas de monstruos verdes, solo tiene el sesenta por ciento de las cartas que tiene Marta. ¿Cuántas cartas tiene Marta?

Aquí conocemos la parte, pero no el total, que es lo que tenemos que calcular. En este momento sabemos que 120 cartas corresponden al 60 % de las cartas que tiene Marta. Para saber cuántas cartas corresponden al uno por ciento, nos basta dividir esas ciento veinte entre sesenta. Obtenemos un dos: 120/60 = 2. El uno por ciento de las cartas son en realidad dos cartas de monstruo verde. Como calculamos el total, que siempre es el 100 %, multiplicamos ese número de cartas por cien. Y tenemos 200 cartas, que es el resultado correcto.

Podemos comprobarlo calculando el 60 % de 200: simplemente multiplicamos

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Vemos que el 60 % de 200 es 120, que es exactamente el número de cartas de monstruo verde que tiene Tomás.

Suma de porcentajes

Cuando tenemos que resolver un problema en el que aparecen porcentajes, lo mejor es calcular valores exactos en lugar de porcentajes y sumarlos después. Así que el enunciado podría ser más o menos este: Martín gana 1500 €, Hugo 2000 € y Lucía 2500 € al mes. Ahora calcula cuántos euros gana Sofía, que gana el 30 % de lo que gana Martín más el 40 % de lo que gana Hugo más el 25 % de lo que gana Lucía.

Aquí tenemos tres expresiones con porcentajes, pero cada expresión proviene de un total distinto. Martín, Hugo y Lucía ganan cada uno una cantidad de dinero diferente. Así que primero calculamos el 30 % del sueldo de Martín. Es 1500/100 = 15. Después multiplicamos 15 · 30 y obtenemos 450. A continuación toca el 40 % del sueldo de Hugo. Es 2000/100 = 20. De nuevo lo multiplicamos por 40 y tenemos 20 · 40 = 800. La última parte es el 25 % de Lucía. Ella gana 2500 €, de los cuales el uno por ciento es 2500/100 = 25. Multiplicando por 25 obtenemos 25 · 25 = 625. Ahora solo sumamos todos los resultados parciales: 450 + 800 + 625 = 1875. Sofía gana 1875 €, que no está nada mal.

Sin embargo, puede ocurrir que de verdad tengamos que sumar porcentajes. Los porcentajes solo se pueden sumar si tienen la misma base, el mismo total. Así que, si por ejemplo Jaime ganara el 20 % de lo que gana Hugo más el 30 % de lo que gana Hugo, podemos sumar esos porcentajes, porque se trata de la misma base: las dos expresiones parten del sueldo de Hugo. El resultado será, por tanto, 20 % + 30 % = 50 %. Jaime ganaría la mitad de lo que gana Hugo, 1000 €.

La traicionera suma de porcentajes en cascada

Ahora imagina la siguiente situación: El primer año Julián ganaba 1000 € al mes. El segundo año le hicieron una subida y le aumentaron el sueldo un 30 %. Al año siguiente, el tercero, volvió a recibir una subida y de nuevo le aumentaron el sueldo, aunque esta vez solo un 10 %. La pregunta es: ¿qué sueldo tiene ahora Julián?

Este tipo de ejemplos tienta muchísimo a sumar los porcentajes igual que en el caso anterior. Al fin y al cabo seguimos contando —aparentemente— con la misma base, el sueldo de Julián. Así que calculamos 30 % + 10 % y lo sumamos a su sueldo inicial. Julián ganaría entonces 1400 €. Pero no es así. Vamos a repasarlo.

El primer año ganaba 1000 €. El segundo año ganaba 1000 € + 30 %. Eso son 1300 €, como seguro que ya has calculado. Y ahora, al año siguiente, le subieron el sueldo un diez por ciento. ¡Pero ojo! La base ya no son esos mil euros que ganaba el primer año. ¡La base ya son mil trescientos! Y, como sabemos, solo podemos sumar porcentajes si se calculan sobre la misma base. Y en nuestro caso la base es distinta. La primera vez fue 1000 y ahora es 1300. Así que el último año Julián ganaba 1300 € + 10 %, que son 1430 €.

La solución de 1400 € era, por una parte, incorrecta y, por otra, hemos dejado al pobre Julián sin 30 €. ¡No seas malo con Julián!

¡Compra el libro de texto de matemáticas con descuento!

Un ejemplo clásico es también el del descuento. Imagina que en una tienda tienen el libro de texto de matemáticas que tanto te gustaría que te regalaran por tu cumpleaños. Al fin y al cabo, ¿qué otra cosa ibas a querer, verdad? :-)

Antes de Navidad, sin embargo, el libro sube de precio un 20 %. Piensas que mejor esperas y lo compras después de las fiestas. Has hecho bien, porque después de las fiestas la tienda rebajó el libro un 20 %. La pregunta es: ¿cuesta el libro lo mismo que antes de la subida? ¿O cuesta más o menos?

El sentido común de algunas personas vuelve a decir que el libro costará lo mismo, pero no es verdad. Vamos a calcularlo. Supongamos que el libro costaba 12 €. La subida del 20 % significa que el libro se encareció en $\frac{20}{100}\cdot 12=2,40$ €. El libro costaba entonces 14,40 €.

Pero el descuento del 20 % ya no se calcula sobre la base de 12, sino sobre la de 14,40. Esto significa que el libro se rebaja en $\frac{20}{100}\cdot 14,40=2,88$ €. El libro después del descuento cuesta 11,52 €.

(Aunque, la verdad, ¿quién iba a comprar un libro de texto de matemáticas teniendo esta web? ;-))

Tanto por mil

El tanto por mil se usa sobre todo para medir el alcohol en la sangre de un conductor. Algunas personas creen erróneamente que el tanto por mil es la milésima parte del uno por ciento, pero eso es un error, ojo con ello. El tanto por mil es la milésima parte del total. Por lo demás, con el tanto por mil se calcula exactamente igual que con los porcentajes. Si quieres averiguar el x por mil de 5000, lo calculas como $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. En lugar de 100 hay un 1000 en el denominador de la fracción. El tres por mil de 5000 es entonces $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

El tanto por mil se escribe con el símbolo ‰. Se cumple que $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Más en el artículo aparte sobre el tanto por mil.

Tipografía del porcentaje

Según la RAE, el signo % se separa siempre del número con un espacio: «el 100 %», no «el 100%». Escribirlo sin espacio es un error muy frecuente. Piensa en ello, por favor, al escribir y no te alteres demasiado cuando en los periódicos lo tengan mal :-).

Punto porcentual

Además de los porcentajes normales, también podemos tener puntos porcentuales. ¿Cuál es la diferencia entre ellos? Imagina que hace dos años el navegador Firefox lo usaba el 20 % de las personas, pero este año ya lo usa el 30 % de las personas. ¿Cuál es el aumento entre estos dos años? Sería un error decir que el aumento es del diez por ciento. Si Firefox lo usaba primero el 20 % de las personas y después el 30 %, eso significa que ahora lo usan la mitad más de personas que antes, lo cual supone un aumento del cincuenta por ciento.

Pero es un poco raro decir que el aumento es del 50 % cuando para todos sería más comprensible decir que el porcentaje ha subido diez. Y justamente para eso tenemos los puntos porcentuales. En este caso podemos decir que el aumento del uso del navegador Firefox es de diez puntos porcentuales. Los puntos porcentuales podemos usarlos cuando queremos expresar una simple diferencia entre dos datos porcentuales.