Ángulo

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Qué es un ángulo

La definición de ángulo no es del todo sencilla y existen varias versiones. Pero para nuestros fines puede bastar esta: un ángulo es la parte del plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen común. Lo importante de esta definición es que el ángulo no son solo esos dos lados, sino toda la superficie, todo el plano que abarcan los dos lados. Mira la siguiente figura:

Sin embargo, la figura anterior no era del todo exacta, porque no hemos especificado de qué ángulo hablamos. A primera vista podríamos imaginar como ángulo ABC la superficie mencionada, pero igual de bien podríamos imaginar la otra parte del plano:

Por eso, al escribir ángulos deberíamos distinguir si nos referimos a un ángulo convexo (el que mide menos de 180°) o a un ángulo cóncavo (más de 180°). Al ángulo cóncavo también se le puede llamar ángulo no convexo. Esto se puede expresar, por ejemplo, mediante un ángulo orientado.

Un ángulo puede tener orientación positiva o negativa. En la orientación positiva avanzamos en sentido contrario al de las agujas del reloj y en la negativa, en el sentido de las agujas del reloj. Así, al escribir el ángulo ABC, se menciona primero la semirrecta BA y en segundo lugar la semirrecta BC. En el sentido positivo miramos la semirrecta BA y avanzamos a partir de ella en sentido contrario al de las agujas del reloj. En nuestro ejemplo de arriba obtendríamos la primera figura, el ángulo convexo. Si eligiéramos el sentido negativo, obtendríamos el ángulo cóncavo, es decir, la segunda figura. Normalmente se trabaja con el sentido positivo y en este artículo también escribiremos los ángulos en sentido positivo.

Un ángulo se compone, pues, de dos lados que lo limitan, del vértice del ángulo, del que salen esas semirrectas, y de la superficie que delimitan los lados del ángulo. Si tenemos el ángulo ABC, los lados del ángulo son BA y BC y el vértice es B.

Amplitud de un ángulo

Igual que podemos medir la longitud de un segmento, también podemos medir la amplitud de un ángulo. Se mide o bien en grados, la medida clásica que seguro que conoces, o bien en radianes. La medida en grados es sencilla: 90° es un ángulo recto (por ejemplo, los ángulos interiores de un cuadrado miden cada uno 90°), 180° es un ángulo llano (lo forman, por ejemplo, dos semirrectas opuestas) y 360° es un ángulo completo (lo forman semirrectas que están una sobre otra; un ángulo así está formado por todo el plano que lo rodea). El grado se divide a su vez en minutos (se escriben ′) y segundos (se escriben ″). Un grado tiene 60 minutos y un minuto tiene sesenta segundos. 1° = 60′ y 1′ = 60″.

Figuras de los distintos ángulos:

La medida en radianes cuesta algo más de imaginar, porque aquí se trabaja con radianes, que son adimensionales. El tamaño del radián y otras propiedades ya los describí al hablar de las funciones trigonométricas, así que no me repetiré.

Según su amplitud, los ángulos se pueden dividir además en ángulo agudo, que mide menos de 90°, y ángulo obtuso, que mide entre 90° y 180°. Se trata de una especie de subconjunto del ángulo convexo que mostré arriba. El ángulo cóncavo mide más de 180° y ya no se divide más.

Pares de ángulos

Algunos pares específicos de ángulos tienen distintas propiedades que conviene conocer.

• Los ángulos opuestos por el vértice son los que tienen un vértice común y cuyos lados forman semirrectas opuestas. Los ángulos opuestos por el vértice son siempre iguales, tienen la misma amplitud.

• Los ángulos adyacentes son los que tienen un lado común y los otros lados son semirrectas opuestas. La suma de los ángulos adyacentes es siempre igual a 180°, un ángulo llano.

• Los ángulos correspondientes son los ángulos cuyos primeros lados son paralelos y los segundos están sobre una misma recta. También debe cumplirse que los ángulos tengan la misma orientación. Los ángulos correspondientes son iguales.

Existen otros tipos de ángulos, pero ya son solo posiciones que se pueden deducir a partir de estas tres colocaciones descritas arriba.

Operaciones con ángulos

Con los ángulos podemos realizar ciertas operaciones elementales. La más básica es la suma. Numéricamente casi no hay nada que se pueda estropear: sumas sin más las amplitudes de los ángulos. Si un ángulo mide más de 360°, normalmente se reduce a una forma más sencilla, situada en algún punto del intervalo 0° − 360°. En resumen, es como si trabajaras en un sistema de base 360. De forma parecida, si en el ejercicio hay minutos o segundos, tienes que calcular en el sistema sexagesimal (como en un reloj normal).

Veamos, por si acaso, un ejemplo. Suma estos ángulos: α = 183° 51′ y β = 222° 24′. Primero calculamos los minutos 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (el procedimiento es sencillo: divides 75 entre sesenta; el cociente da el número de grados y el resto, el número de minutos que sobran). Ahora calculamos los grados: 183° + 222° = 405°. A este resultado parcial le sumamos el resultado anterior: 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Ahora iremos restando 360 a este ángulo hasta que quede en el intervalo entre 0 y 360. Lo reducimos porque, si recorremos un ángulo de 360°, volvemos a estar al principio, y un ángulo de 361° tendrá en el papel la misma amplitud que un ángulo de 1°. Llegamos a este cálculo: 406° 15′ = 46° 15′.

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