Cómo construir un triángulo

Un triángulo es un polígono que tiene exactamente tres lados. Estos lados los designamos con letras minúsculas, normalmente a, b, c. El triángulo tiene también tres vértices, que designamos con letras mayúsculas, normalmente A, B, C. El lado a corresponde entonces al segmento BC, el lado b al segmento AC y el lado c al segmento AB. El lado a está siempre opuesto al vértice A, y lo mismo ocurre con los demás lados.

Conocemos los tres lados

Si conocemos las longitudes de los tres lados, construir el triángulo es bastante fácil. Elegimos uno de los lados, por ejemplo AB, y lo trazamos como un segmento normal. Después tenemos que averiguar dónde está el tercer punto. Eso se hace sencillamente: se toma el compás, se clava en el punto B y se traza una circunferencia de radio igual a la longitud del lado BC, por ejemplo cinco centímetros. Así averiguamos dónde podría estar el punto C para que esté a cinco centímetros justos del punto B. Después hacemos lo mismo con el lado AC y el punto A. Ahora tenemos dos circunferencias y su punto de corte nos da un punto que está a la distancia dada tanto del vértice A como del punto B.

Conocemos dos lados y la altura

Cada lado del triángulo tiene su altura, que se define como la perpendicular desde el vértice opuesto hasta el lado indicado. Si esa perpendicular no corta directamente al lado, tenemos que prolongar el lado hasta el punto donde la corte. La propiedad básica de la altura es, por tanto, que es perpendicular al lado al que pertenece. Esto se aprovecha a menudo en los problemas de cálculo, porque podemos usar el teorema de Pitágoras. La altura sobre el lado c se escribe normalmente con la letra minúscula h y, como subíndice, la designación del lado al que corresponde la altura. Es decir, en nuestro caso h_c. El pie de la perpendicular (el punto de corte del lado con la perpendicular) se designa de forma parecida, solo que en lugar de la h minúscula escribimos la P mayúscula: P_c.

Hemos trazado la altura desde el vértice C. El otro punto está en el lado opuesto AB (es decir, el lado c) y el segmento CP_c es perpendicular al lado c. El punto P_c se llama pie de la altura; al lado c lo llamamos base. El pie suele nombrarse con la letra P y un subíndice con el vértice del que parte la altura. En este caso es el vértice C.

La altura se traza con bastante facilidad: tomas la regla y trazas la perpendicular al lado c de modo que pase justo por el punto C. Eso es todo.

Podemos trazar la altura desde cada vértice del triángulo. Todas las alturas se cortan entonces en un punto que se llama ortocentro. El ortocentro puede estar dentro del triángulo, pero también puede no estarlo. En el caso de un triángulo acutángulo, el ortocentro está dentro del triángulo.

Conocemos dos lados y la mediana

Además de la altura, todo triángulo tiene también tres medianas. La mediana es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un único punto que se llama baricentro. Este baricentro divide siempre las medianas en la razón 2:1: la parte de la mediana anterior al baricentro mide o bien la mitad o bien el doble que la parte posterior. Las medianas se designan con la letra minúscula m y con el subíndice del lado al que corresponden. El baricentro se designa normalmente con una sola letra mayúscula, G.

Si conoces dos lados y la mediana correspondiente a uno de esos dos lados, el triángulo se construye muy fácilmente. Empiezas de nuevo trazando el lado AB y después averiguas dónde está el punto C trazando dos circunferencias: la primera con centro en el punto B (o en A, si conoces la longitud de AC) y la segunda con centro en el punto medio del lado AB. El punto donde se cortan las circunferencias es el punto C buscado. El procedimiento es el mismo que en el primer caso, solo que en lugar del triángulo ABC trazas primero el triángulo M_cBC, del que averiguas el vértice C buscado.

Conocemos dos lados y otra mediana

Primero observa un esbozo de cómo debería quedar más o menos:

Los elementos marcados en rojo los conocemos y a partir de ellos tenemos que construir el triángulo entero. El procedimiento es el siguiente: completamos este triángulo hasta un cuadrilátero y a partir del cuadrilátero trazamos ya el resto. Lo explica con claridad la siguiente figura (recuerda que la longitud BD es igual al doble de la longitud de m_b).

Este cuadrilátero lo construimos fácilmente. Primero construimos el triángulo ABD. La longitud del lado AB la conocemos, la longitud del lado BD es 2m_b y la de AD es igual a la longitud de BC. El punto C lo hallamos o bien buscando el punto M_b, que es el punto medio del segmento BD, y después trazando simplemente la semirrecta AM_b, y la longitud de AC es 2AM_b. La segunda posibilidad es trazar una recta paralela al lado AB; el punto C estará en esa recta y estará a distancia |AB| del punto D.