Trigonometriset funktiot

Tässä artikkelissa käsitellään trigonometrisiä funktioita. Sana trigonometria tulee kreikasta: trigonon tarkoittaa kolmiota ja metron mittaa. Tunnetaan neljä trigonometristä perusfunktiota — sini, kosini, tangentti ja kotangentti.

Kolmion peruskäsitteet

Trigonometriset funktiot käsittelevät kolmion kulmia, joten tässä osassa kerrataan kolmioon liittyviä käsitteitä.

Kuvassa on kolmio, jonka muodostavat kärjet A, B ja C; kyseessä on siis kolmio ABC. Siinä on kolme sivua: AB, BC, AC. Huomaa lisäksi, että nämä sivut on nimetty vielä pienillä kirjaimilla. Nimeämisellä on sääntönsä — kärkeä A vastapäätä on sivu a. Kärkeä B vastapäätä on sivu b ja kärkeä C vastapäätä on sivu c. Sivu on siis aina nimetty kärjen mukaan sitä vastapäätä olevaksi; se on se sivu, jonka päätepiste kyseinen kärki ei ole.

Jokaisella kolmiolla on kolme sisäkulmaa, joita merkitään yleensä kreikkalaisilla kirjaimilla alfa α, beta β ja gamma γ. Kaikkien kolmen sisäkulman summan täytyy aina olla 180 astetta. Kärjessä A on yleensä kulma alfa, kärjessä B beta ja kärjessä C gamma.

Vaikka trigonometrisiä funktioita voi jollain tavalla käyttää missä tahansa kolmiossa, tarkastellaan usein vain suorakulmaista kolmiota. Suorakulmaisessa kolmiossa yksi kulma on suora, eli suuruudeltaan 90 astetta. Se näyttää esimerkiksi tältä:

Suorakulmaisen kolmion sivuilla on erityiset nimet. Pisin sivu on suoran kulman vastapäätä, ja sitä sanotaan hypotenuusaksi (kuvassa sininen sivu). Kahta lyhyempää sivua sanotaan kateeteiksi (punaiset sivut). Tämä kolmio kiinnostaa tässä artikkelissa eniten.

Kateettien merkitseminen kolmiossa

Siirrytään vähitellen ensimmäiseen trigonometriseen funktioon, sinifunktioon. Kaikki trigonometriset funktiot osoittavat kolmion jonkin kulman ja kahden sivun pituuksien suhteen välisen yhteyden. Yleensä kyseessä ei ole suora kulma vaan jompikumpi kahdesta muusta. Trigonometrisen funktion muuttujana on siis kulman suuruus. Funktion arvo on joidenkin kahden sivun suhde. Yksittäiset funktiot eroavat toisistaan sen mukaan, mitä sivuja ne käyttävät.

Sinifunktio käyttää vastaista kateettia ja hypotenuusaa. Mikä on kulman viereinen ja vastainen kateetti, näkyy seuraavasta kuvasta.

Kuvassa tarkastellaan kulmaa beta, eli kärjen B kulmaa. Musta sivu on hypotenuusa, se pysyy samana. Punaisella korostettu sivu c on viereinen kateetti, koska se on kulman beta vieressä. Sinisellä korostettu sivu b on vastainen kateetti, koska se on kulman beta vastapäätä. Tärkeää on, että nämä käsitteet liittyvät aina johonkin kulmaan. Jos kuvaa katsotaan kulman gamma kannalta, saadaan tämä tulos:

Sinifunktio

Kulman alfa sini on vastaisen kateetin pituuden ja hypotenuusan pituuden suhde. Mitä se tarkoittaa? Jos (esimerkiksi laskimella) lasketaan kulman alfa sini, saadaan osamäärän arvo

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Vastaisen kateetin pituus}}{\text{Hypotenuusan pituus}}$$

Kokeillaan sitä tässä kolmiossa ja kulmalle beta: Se on nätti kolmio, sivujen pituudet ovat: |a| = 5, |b| = 3 ja |c| = 4. Kulman beta vastainen kateetti on sivu b, hypotenuusa on sivu a. Lasketaan osamäärä b/a, eli 3/5, mikä on 0,6. Kulman beta sini on siis 0,6. Kulman beta suuruus on 36° 52′, ja jos tämä kulma syötetään laskimeen ja lasketaan sini, saadaan juuri 0,6 (pienen pyöristyksen jälkeen). Tuloksen voi tarkistaa sinilaskurilla.

Mihin tätä tarvitaan

Siitä on hyötyä silloin, kun tunnetaan yksi kulma ja yhden sivun pituus ja halutaan laskea loput sivut.

Kirjoitetaan ensin muistiin, mitä tiedetään. Tunnetaan kulma alfa. Tiedetään, että tämän kulman sini on vastaisen kateetin (sivu a) ja hypotenuusan (sivu b) suhde. Matemaattisesti kirjoitettuna:

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Kulman sini tunnetaan, tai oikeammin sen voi laskea, ja sivun a pituus tunnetaan. Ainoa tuntematon on sivun b pituus. Tämä muuttuja yritetään siis eristää. Kerrotaan ensin yhtälö sivun b pituudella. Saadaan

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

ja nyt yhtälö jaetaan vielä lausekkeella sin(α), jolloin saadaan haluttu muoto, jossa sivun b pituus on vasemmalla puolella:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

Sivun a pituus tunnetaan, se on kolme. Kolmenkymmenen asteen sini on yhtä suuri kuin yksi puolikas. Sijoitetaan:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

Sivun b pituus on kuusi.

Kosinifunktio

Kosini on hyvin samankaltainen kuin sini. Kosinia koskeva terminologia on sama kuin edellisessä osassa, joten siirrytään määritelmään:

Kulman alfa kosini on viereisen kateetin pituuden ja hypotenuusan pituuden suhde. Jos siis laskimella lasketaan kulman alfa kosini, saadaan osamäärän arvo

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{viereisen kateetin pituus}}{\text{hypotenuusan pituus}}.$$

Sinin ja kosinin eron esittää selkeästi seuraava kuva:

Molemmat funktiot käyttävät kolmion hypotenuusaa, joka pysyy mustana. Sini käyttää vastaista kateettia, joka on — kulmaan alfa nähden — punainen sivu BC. Kosini käyttää viereistä kateettia, joka on sininen sivu AB.

Palataan edellisessä luvussa kuvattuun esimerkkiin. Piti laskea hypotenuusan pituus, kun tunnettiin sivun a pituus. Yritetään nyt laskea sivun c pituus, kun tunnetaan kulma alfa ja hypotenuusa, jonka juuri laskettiin edellisessä esimerkissä: b = 6.

Mitä tiedetään? Kulman alfa suuruus on 30 astetta, sivun b pituus on kuusi, ja kosini kertoo viereisen kateetin ja hypotenuusan suhteen. Viereinen kateetti on sivu c, eli sivu, jonka pituus halutaan selvittää. Kirjoitetaan:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Yhtälöstä täytyy eristää |c|. Se tehdään kertomalla yhtälö sivun b pituudella, jolloin oikealle puolelle jää vain sivun c pituus:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Vaihdetaan vain puolet keskenään:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

Oikealla puolella on lausekkeita, jotka joko tunnetaan tai osataan laskea. Kolmenkymmenen asteen kosini on likimain 0,866 (ks. kosinilaskuri). Sijoitetaan yhtälöön:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Se on sivun c pituus. Kuten myöhemmin nähdään, kolmenkymmenen asteen kosini on taulukkoarvo, joka on

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

joten edellinen pituus voidaan tarkentaa muotoon:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tangentti ja kotangentti

On vielä kaksi muuta trigonometristä funktiota, tangentti ja kotangentti. Pääasiallinen ero aiempiin trigonometrisiin funktioihin on se, että tangentti ja kotangentti käyttävät vain kateetteja, eivät hypotenuusaa.

Kulman alfa tangentti on vastaisen kateetin pituuden ja viereisen kateetin pituuden suhde. Tangenttia merkitään tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Vastaisen kateetin pituus}}{\text{Viereisen kateetin pituus}}$$

Kulman alfa kotangentti on viereisen kateetin pituuden ja vastaisen kateetin pituuden suhde. Kotangenttia merkitään cot.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Viereisen kateetin pituus}}{\text{Vastaisen kateetin pituus}}$$

Terminologia on jälleen sama kuin edellisissä osissa, ja funktioiden käyttö on samanlaista. Palataan edelliseen esimerkkiin ja yritetään laskea sivun c pituus pelkästään kulman alfa suuruuden ja sivun a pituuden perusteella, kun a = 3.

Tangentti on vastaisen kateetin ja viereisen kateetin suhde, joten matemaattisesti kirjoitettuna se näyttää tältä:

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Täytyy laskea sivun c pituus, joten tästä yhtälöstä täytyy eristää lauseke |c|. Kerrotaan lausekkeella |c| ja jaetaan tan(α):lla, samaan tapaan kuin edellisissä esimerkeissä.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/:\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

Sijoitetaan oikealle puolelle, jossa kolmenkymmenen asteen tangentti on likimain 0,5773 (ks. tangenttilaskuri).

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

Kolmenkymmenen asteen tangentille on olemassa taulukkoarvo, pätee, että:

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

joten edellinen lasku voidaan laskea tarkasti:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Taulukkoarvot

Sinillä, kosinilla, tangentilla ja kotangentilla on joillekin kauniille kulmille kauniit arvot. Tässä niiden perusyhteenveto:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Linkit

Aiheeseen liittyvät käsitteet täällä sivustolla:

• Suunnattu kulma
• Radiaani