Diskriminantti

Diskriminantti on polynomi, jonka avulla voidaan laskea yleisen toisen asteen yhtälön ratkaisu tai selvittää, onko yhtälöllä ratkaisuja ja kuinka monta.

Kaava ja perusyhteydet

Kerrataan ensin toisen asteen yhtälön yleinen muoto:

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0$

missä a, b, c ovat reaalilukuja. Diskriminantti, merkitään sitä D, lasketaan näin:

$D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$

Esimerkki: olkoon toisen asteen yhtälö 3x² + 5x − 7 = 0. Tälle yhtälölle pätee: a = 3, b = 5, c = −7. Diskriminantti lasketaan näin:

$D = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7) = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 25 + 84 = 109$

Tulos on siis 109. Mitä tämä luku kertoo? Jos diskriminantti on…

positiivinen, yhtälöllä on kaksi eri reaalijuurta,
nolla, yhtälöllä on kaksi samaa reaalijuurta,
negatiivinen, yhtälöllä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Sillä on kuitenkin ratkaisu kompleksilukujen joukossa.

Miten toisen asteen yhtälön juuret lasketaan

Diskriminantin avulla voidaan laskea suoraan toisen asteen yhtälön juuret. Juurten laskemisen kaava on seuraava:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a},$

missä D on diskriminantti. Koko kaava diskriminantti auki kirjoitettuna on:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Kokeillaan tämän kaavan avulla laskea toisen asteen yhtälön x² + 7x + 12 = 0 juuret. Ensin lasketaan diskriminantti:

$D = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1.$

Diskriminantti tuli positiivinen, joten yhtälöllä on kaksi eri reaalijuurta. Lasketaan ensimmäinen juuri. Ensimmäisessä vaiheessa diskriminantin neliöjuuri lisätään, toisessa vaiheessa se vähennetään:

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 + 1}{2} = - \frac{6}{2} = - 3.$

Ensimmäiseksi juureksi tuli −3. Toinen juuri lasketaan vähentämällä neliöjuuri:

$x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 - 1}{2} = - \frac{8}{2} = - 4.$

Nyt yhtälön molemmat juuret on laskettu, x₁ = −3 ja x₂ = −4.

Tämän menettelyn hallitsemiseksi on ehdottoman välttämätöntä, että osaat määrittää arvot a, b ja c oikein. Miten ne määritetään, kuvattiin ensimmäisessä toisen asteen yhtälöitä käsittelevässä artikkelissa.

Entä mitä tämä ratkaisu tarkoittaa graafisesti, miten se näkyy kuvaajassa? Jos piirretään yhtälön vasemmalla puolella olevan funktion kuvaaja, huomataan, että tämän toisen asteen funktion kuvaaja leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä – pisteissä x₁ = −3 ja x₂ = −4.

Funktion y=x^2+7x+12 kuvaaja

Diskriminantti on nolla

Jos diskriminantti on nolla, yhtälöllä on ratkaisu, mutta vain yksi; tai oikeastaan kaksi, mutta samat. Esimerkki: ratkaise yhtälö x² − 10x + 25 = 0. Lasketaan diskriminantti:

$D = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0.$

Juuri lasketaan samoin kuin edellisessä luvussa, kaavan avulla. Koska diskriminantti on nolla, kaavasta katoaa plus/miinus D:n neliöjuuri, sillä lisättäisiin tai vähennettäisiin nolla.

$x_{1, 2} = \frac{- (- 10)}{2} = \frac{10}{2} = 5.$

Saatiin yksi kaksinkertainen juuri, x = 5. Mitä se tarkoittaa graafisesti? Että kyseisen funktion kuvaaja sivuaa x-akselia täsmälleen yhdessä pisteessä, huipussaan.

Funktion y=x^2-10x+25 kuvaaja

Diskriminantti on negatiivinen

Jos diskriminantiksi tulee negatiivinen luku, toisen asteen yhtälöllä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Yhtälön voi ratkaista kompleksilukujen joukossa, mutta siitä kerrotaan vasta seuraavassa artikkelissa. Esimerkkinä yritetään ratkaista tämä toisen asteen yhtälö: x² + x + 1 = 0. Diskriminantti:

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3.$

Toisen asteen yhtälöllä ei siis ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Voit kokeilla – polynomi x² + x + 1 on positiivinen kaikilla reaaliluvuilla. Jos esimerkiksi sijoitat x:n paikalle ykkösen, saat: 1 + 1 + 1 = 3. Jos x = −1, saadaan 1 − 1 + 1 = 1. Jos x = 0, saadaan 0 + 0 + 1 = 1. Ja samoin muilla luvuilla. Voit myös tarkastella funktion y = x² + x + 1 kuvaajaa, joka ei koskaan leikkaa x-akselia.

Funktion y=x^2+x+1 kuvaaja

Vietan kaavat

Tiedetään jo, miten toisen asteen yhtälön ratkaisu lasketaan. Mutta mikä on ratkaisujen välinen yhteys? Kokeillaan laskea molemmat ratkaisut x₁ ja x₂ yhteen:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{- b + \sqrt{D} - b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a} \end{array}$

Kun toisen asteen yhtälön ax² + bx + c = 0 juuret lasketaan yhteen, saadaan osamäärä −b/a. Mitä tapahtuu, jos juuret kerrotaan keskenään?

$\begin{array}{rcl} x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{b^{2} + b \cdot \sqrt{D} - b \cdot \sqrt{D} - D}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - D}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} \\ = & \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} \end{array}$

Kun juuret siis kerrotaan keskenään, saadaan luku c/a. Ja nämä ovat Vietan kaavat. Vielä kerran yhdessä:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - \frac{b}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{c}{a} \end{array}$

Huomaa, että murtoluvun nimittäjässä on aina lauseke a. Erikoistapaus on toisen asteen yhtälö, jolle pätee a = 1. Tällöin Vietan kaavat voidaan kirjoittaa näin:

$\begin{array}{rcl} jos a = 1 : \\ x_{1} + x_{2} & = & - b \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & c \end{array}$

Tätä voidaan hyödyntää toisen asteen yhtälöiden ratkaisua etsittäessä. Sen sijaan että diskriminantti laskettaisiin työläästi, voidaan katsoa, löytyvätkö sellaiset luvut x₁ ja x₂, että yllä olevat yhteydet pätevät. Esimerkki: etsi yhtälön x² + 8x + 15 = 0 ratkaisu. Pätee a = 1, joten voidaan käyttää yksinkertaisempia Vietan kaavoja. Etsitään luvut x₁ ja x₂ siten, että pätee:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - 8 \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & 15 \end{array}$

Jos rajoitutaan vain kokonaislukuihin, on yhteensä neljä tapaa saada tuloksi 15:

$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 15 & = & 15 \\ 3 \cdot 5 & = & 15 \\ - 3 \cdot (- 5) & = & 15 \\ - 1 \cdot (- 15) & = & 15 \end{array}$

Nyt tarvitaan, että vasemman puolen lukujen summa on −8. Vain yksi pari antaa tällaisen summan, nimittäin −3 ja −5. Nämä luvut ovat siis toisen asteen yhtälön ratkaisut. Voit kokeilla sijoittaa ne yhtälöön, tulokseksi täytyy tulla nolla:

$\begin{array}{rcl} (x = - 3) : & (- 3)^{2} + 8 \cdot (- 3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0 \\ (x = - 5) : & (- 5)^{2} + 8 \cdot (- 5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0 \end{array}$

Täsmää. Jos juuret tunnetaan, yhtälön voi myös kirjoittaa selkeämpään muotoon. Jos x₁ ja x₂ ovat yhtälön ax² + bx + c = 0 juuret ja a = 1, yhtälön voi kirjoittaa muotoon

$(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0.$

Edellinen yhtälö voidaan siis kirjoittaa muotoon:

$(x - (- 3)) (x - (- 5)) = (x + 3) (x + 5) = 0.$

Luvut: Toisen asteen yhtälö, Diskriminantti, Parametrillinen toisen asteen yhtälö, Toisen asteen yhtälö kompleksilukujen joukossa

« Edellinen: Toisen asteen yhtälöt

Seuraava: Parametrillinen toisen asteen yhtälö »