Suorakulmainen kolmio

Suorakulmaisessa kolmiossa yksi sisäkulma on suora eli 90 astetta. Tällä kolmiolla on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia, joista kerrotaan tässä artikkelissa.

Perusesittely

Suorakulmaista kolmiota on jo osittain kuvattu kolmioita käsittelevässä pääartikkelissa. Suorakulmaisessa kolmiossa yksi sisäkulma on 90 astetta. Kahden muun sisäkulman on välttämättä oltava pienempiä kuin 90 astetta, koska muuten sisäkulmien summa ei olisi 180 astetta. Itse asiassa kahden jäljellä olevan kulman summa on täsmälleen 90 astetta.

Suorakulmaisessa kolmiossa on tietysti kolme sivua. Kahta niistä kutsutaan kateeteiksi (punaiset sivut), ne ovat lyhyemmät sivut, ja kolmatta sivua kutsutaan hypotenuusaksi (sininen sivu) — se on pisin sivu. Hypotenuusa on aina sen kärjen vastainen, jossa on suorakulma.

Pythagoraan lause

Ehkä kaikkien aikojen kuuluisin matemaattinen lause, Pythagoraan lause, pätee juuri suorakulmaisessa kolmiossa. Pythagoraan lause käsittelee kolmion sivujen pituuksia. Lause sanoo, että ”suorakulmaisen kolmion hypotenuusan päälle piirretyn neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin sen kateettien päälle piirrettyjen neliöiden pinta-alojen summa”. Matemaattisesti kirjoitettuna meidän kolmiollemme, jossa hypotenuusa on sivu a:

$$a^2=b^2+c^2$$

Pythagoraan lause kuvassa, tällä kertaa tavallisilla merkinnöillä, joissa hypotenuusa on c: Lausetta käsittelee oma artikkelinsa.

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on hyvin helppo laskea, koska korkeusjanat yhtyvät kateetteihin. Kuvittele ensimmäisen kuvan suorakulmainen kolmio. Miten laskisimme sen pinta-alan, jos emme tietäisi mitään korkeusjanoja? Kolmion voi täydentää niin, että syntyy suorakulmio. Suorakulmion sivut muodostuvat kolmion kateeteista, ja kaksi muuta sivua täydennetään niin, että suorakulmio todella syntyy: Suorakulmion pinta-alan osaamme jo laskea: se on kahden vierekkäisen sivun pituuksien tulo, meidän tapauksessamme punaisten sivujen AC ja AB tulo. Saamme siis suorakulmion pinta-alan. Hypotenuusa BC on kuitenkin suorakulmion lävistäjä, joka puolittaa suorakulmion, joten jos jaamme suorakulmion pinta-alan kahdella, saamme suorakulmaisen kolmion pinta-alan. Kaava olisi siis tällainen:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

missä b ja c ovat kateettien pituudet.

Trigonometriset funktiot sini ja kosini

Suorakulmaisessa kolmiossa pätevät trigonometriset perusfunktiot ja niiden suhteet. Trigonometriset funktiot, kuten sini, kosini, tangentti ja kotangentti, ilmaisevat suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksien välisen suhteen. Otetaan vielä kerran avuksi ensimmäinen kolmio, tällä kertaa korostetuilla kulmilla.

Jos haluamme selvittää kahden sivun pituuksien suhteen, otamme molemmat pituudet ja jaamme ne mainitussa järjestyksessä. Esimerkiksi sivujen pituuksien suhteen b:c (luetaan ”b suhteessa c:hen”) saamme jakamalla 3/5 (sivun b pituus on 3 ja sivun c pituus 5).

Sinifunktio liittää toisiinsa kahden sivun suhteen ja yhden kulman. Kuvamme osalta pätee: jos otamme sivujen suhteen b:a, saamme sinifunktion arvon kulmalle β. Kosini toimii samoin, mutta suhteelle c:a ja samalle kulmalle β. Siispä pätee:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Sini- ja kosinifunktiot käsittelevät suorakulmaisessa kolmiossa aina vain niitä kulmia, jotka ovat pienempiä kuin 90 astetta. Tässä tapauksessa kulmia β ja γ. Tällä alueella sini ja kosini antavat aina luvun välillä ]0, 1[, minkä ansiosta voit muistaa säännön, että jaat aina lyhyemmän sivun pidemmällä sivulla — jotta saisit juuri luvun väliltä ]0, 1[.

Molemmat funktiot käsittelevät samalla yhtä kateettia ja hypotenuusaa, eivät koskaan kahta kateettia yhtä aikaa. Koska jaat aina lyhyemmän pidemmällä, hypotenuusa on aina murtoluvun nimittäjässä. Kun katsot kaavoja kappaleen yläpuolella, nimittäjässä on aina a, joka on kolmion hypotenuusa.

Viimeinen sääntö on, että sini käsittelee vastaista kateettia, kun taas kosini viereistä kateettia. Mitä se tarkoittaa? Jos meillä on kulma β, viereinen kateetti on se kateetti, joka lähtee pisteestä B, kateetti c. Vastainen on toinen kateetti, kateetti b. Siksi sinin kaavassa on sivu b ja kosinin kaavassa sivu c.

Yhteenveto: sini antaa vastaisen kateetin suhteen hypotenuusaan, kosini viereisen kateetin suhteen hypotenuusaan. Miten voimme hyödyntää tätä? Jos tunnet kolmion kulmat ja hypotenuusan tai kateetin pituuden, voimme laskea jäljellä olevien sivujen pituudet. Esimerkki:

Edellisessä kolmiossa pätee:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Mikä on sivun a pituus? Tiedämme, että pätee:

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

Sinin arvon tunnemme, sivun b pituuden tunnemme myös, etsimme sivun a pituutta. Ratkaistaan a yhtäpitävillä muunnoksilla:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(Ensin kerroimme yhtälön luvulla a ja sitten jaoimme yhtälön sinillä.) Oikealla puolella on nyt pelkkiä tunnettuja arvoja, joten sijoitamme. Sinin arvon laskemme laskimella.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Sivun a pituus on 5,83. Jos lasket sinin laskimella, varmista, että laskimessa on astetila päällä. Usein ongelmana on nimittäin se, että lasket radiaaneilla, mikä on toinen kulman mitta. Muunnoskaava kuitenkin pätee:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

missä deg on arvosi asteina.

Trigonometriset funktiot tangentti ja kotangentti

Suorakulmaisessa kolmiossa voi helposti käyttää myös näitä kahta funktiota. Taas pätee, että käytämme aina kulmia, jotka ovat pienempiä kuin 90 astetta. Toisin kuin sini ja kosini nämä funktiot eivät kuitenkaan käytä kolmion hypotenuusaa vaan pelkästään kateetteja. Kulman tangentti on yhtä suuri kuin vastaisen kateetin suhde viereiseen kateettiin ja kotangentti viereisen kateetin suhde vastaiseen.

Edelliseen kolmioon nähden pätee siis:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Yritetään laskea edellisessä kolmiossa sivun AC (sivu b) pituus kulman β avulla. Sen suuruuden tiedämme edellisestä esimerkistä. Tiedämme, että pätee:

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

Ratkaistaan sivu b:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(Yhtälö vain kerrottiin luvulla c ja puolet vaihdettiin.) Nyt tiedämme kaiken tarvittavan, jotta voimme laskea sivun b pituuden. Sijoitetaan:

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Jo kuvasta näemme, että saimme oikean ratkaisun. Taas on kuitenkin varottava: kaavan tangentissa arvo on asteina, kun taas laskin voi vaatia kulman radiaaneina.

Havainnollistukseksi voimme laskea saman sivun myös kotangentin avulla:

$$\begin{array}{rcl}\cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \cot (\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\cot (\beta )}\end{array}$$

Sijoitetaan arvot:

$$b=\frac{5}{\cot (30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Tulos on taas oikea.