Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälö on yhtälö, jossa on yksi tuntematon, joka on korotettu toiseen potenssiin. Jos yhtälössä on tuntematon korotettuna suurempaan potenssiin kuin toiseen, kyseessä ei enää ole toisen asteen yhtälö.

Toisen asteen yhtälön kuvaus

Toisen asteen yhtälön yleinen muoto on seuraava:

$$a{x}^2+bx+c=0$$

Arvot a, b, c ovat reaalilukuja ja arvo a on nollasta poikkeava. Muita nimityksiä:

• ax² on toisen asteen termi,
• bx on ensimmäisen asteen termi,
• c on vakiotermi.

Jokaisen toisen asteen yhtälön voi muokata yleiseen muotoon yhtäpitävillä muunnoksilla tai muilla muokkauksilla. Esimerkki toisen asteen yhtälöstä on tämä yhtälö:

$$3x^2-6x+8=0.$$

Hankalampi kysymys on, onko myös tämä toisen asteen yhtälö:

$$(x+1)\cdot (x+2)=7.$$

Missään ei näy x², eikä oikealla puolella ole nollaa. Oikea puoli hoituu helposti, vähennetään seitsemän, jolloin saadaan muoto

$$(x+1)\cdot (x+2)-7=0.$$

Edelleenkään siinä ei ole x². Kerrotaan sulut auki, jolloin saadaan:

$$x^2+2x+x+2-7=0$$

Nyt siinä on jo x². Yhdistämällä termit saadaan vihdoin toisen asteen yhtälön yleinen muoto:

$$x^2+3x-5=0.$$

Entä seuraava esimerkki, onko se toisen asteen yhtälö? Voiko sen muuttaa yleiseen muotoon?

$$x^2+3x+\frac{4}{x}=0$$

Vastaus on, ettei voi. Jos nimittäjässä olevasta muuttujasta halutaan päästä eroon kertomalla koko yhtälö muuttujalla x, saadaan:

$$x^3+3x^2+4=0.$$

Nyt siinä on x³, mitä toisen asteen yhtälössä ei voi olla.

Toisen asteen yhtälöistä on erikoistapauksia sen mukaan, mitkä arvot kertoimilla a, b ja c ovat.

Kertoimien arvot

Seuraavia lukuja varten on aivan ratkaisevan tärkeää, että osaat määrittää kertoimet a, b ja c. Aloitetaan yksinkertaisella esimerkillä. Määritä yhtälön 3x² + 4x + 7 = 0 kertoimet. Tässä se on helppoa, a = 3, b = 4 ja c = 7.

Entä esimerkiksi yhtälö 3x² − x + 2 = 0? Arvot a ja c ovat selvät, a = 3 ja c = 2, mutta entä b? Olisi virhe sanoa, että b = 1. Kuvittele, että x:n edessä on ykkönen, näin: 3x² − 1x + 2 = 0. Nyt on ehkä paremmin nähtävissä, että b = −1.

Toinen mielenkiintoinen esimerkki: x² − 3 = 0. Tässäkin voi tulla ongelma kertoimen b kanssa, muut ovat ilmeiset: a = 1 ja c = −3. Mikä on kertoimen b arvo? Ensimmäisen asteen termiä ei tässä yhtälössä ole lainkaan, se on sama kuin jos yhtälö kirjoitettaisiin muodossa x² + 0x − 3 = 0. Siis b = 0.

Hankalampi esimerkki:

$$5x^2+3x+\pi \cdot x=0$$

Tässä yhtälössä on kaksi ansaa. Vakiotermiä ei ole, joten c = 0. Toisen asteen termi on selvä, joten a = 5. Mutta mikä on tuo kirottu b? Yhtälöä voi vielä vähän muokata, kahdesta termistä erotetaan yhteinen tekijä x näin:

$$5x^2+(3+\pi )x=0$$

Kerroin b on jälleen se, mikä on muuttujan x ”edessä”, joten koko sulkulauseke on kerroin b = (3 + π). Samankaltainen yhtälö:

$$-x^2+4x+1-\sqrt{2}=0$$

Kaksi ensimmäistä kerrointa ovat ilmeiset: a = −1 ja b = 4. Mikä on vakiotermi? Ne ovat jäljelle jäävät termit, joissa ei ole x:ää. Siis $c=1-\sqrt{2}$. Älä pelkää neliöjuurta, se ei pure, se on ihan tavallinen luku.

Entä mitkä ovat arvot tässä yhtälössä? (x + 1)(x + 2) = −2x. Ensin yhtälö täytyy muokata yleiseen muotoon. Kerrotaan sulut auki, jolloin saadaan

$$x^2+3x+2=-2x$$

ja lopuksi lisätään yhtälöön 2x, jotta oikealle puolelle tulee nolla:

$$x^2+5x+2=0.$$

Arvot ovat nyt selvät: a = 1, b = 5, c = 2.

Vaillinainen toisen asteen yhtälö

Jos b = 0, kyseessä on vaillinainen toisen asteen yhtälö, joka ratkaistaan samaan tapaan kuin ensimmäisen asteen yhtälö. Tämän yhtälön yleinen muoto on siis:

$$a{x}^2+c=0$$

Koska b = 0, koko ensimmäisen asteen termi bx katoaa yhtälöstä, sillä 0x = 0. Yhtälö ratkaistaan vähentämällä ensin vakiotermi. Eli yhtälöstä vähennetään arvo c. Näin saadaan:

$$\begin{array}{rcl}a{x}^2+c& =& 0/-c\\ a{x}^2& =& -c\end{array}$$

Seuraavaksi yhtälö jaetaan luvulla a. Saadaan muoto:

$$x^2=\frac{-c}{a}$$

Lopuksi yhtälöstä otetaan neliöjuuri. Tällöin oikealla puolella oleva murtoluku ei saa olla negatiivinen, koska negatiivisesta luvusta ei voi ottaa neliöjuurta. Tulokseksi saadaan:

$$x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}},x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$$

Huomaa, että saadaan kaksi tulosta, yksi positiivinen ja toinen negatiivinen. Tämä näkyy paremmin esimerkistä. Ratkaistaan yhtälö

$$2x^2-8=0.$$

Menettelyn mukaan vähennetään ensin termi c. Huomaa, että termi c on tässä tapauksessa negatiivinen, joten vähennetään negatiivinen luku, eli lisätään positiivinen. Koko yhtälöön lisätään siis +8 (tavoitteena on saada luku 8 oikealle puolelle). Saadaan muoto:

$$2x^2=8$$

Seuraavaksi menettelyn mukaan yhtälö jaetaan luvulla a, joka on kaksi. Jaon jälkeen saadaan muoto:

$$x^2=4$$

Nyt otetaan neliöjuuri.

$$x_1=2,x_2=-2$$

Miksi mukana on myös miinus kaksi? Koska miinus kaksi kertaa miinus kaksi on neljä. Voidaan katsoa myös graafista ratkaisua: nähdään, että funktion 2x² − 8 kuvaaja leikkaa x-akselin täsmälleen pisteissä x₁ = −2 ja x₂ = 2.

Ratkaise yhtälö

$$80x^2-5=0.$$

Yhtälöön lisätään viisi:

$$80x^2=5$$

Jaetaan 80:llä:

$$x^2=\frac{5}{80}$$

Supistetaan murtoluku:

$$x^2=\frac{1}{16}$$

Otetaan neliöjuuri:

$$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{4}$$

Toisen asteen yhtälö ilman vakiotermiä

Toinen erikoistapaus syntyy, kun vakiotermi c on nolla. Yhtälön yleinen muoto on:

$$a{x}^2+bx=0$$

Tämä yhtälötyyppi ratkaistaan yhteisen tekijän erottamisella:

$$x(ax+b)=0.$$

Tässä tulos on jo melko selvä. Jälleen saadaan kaksi juurta, mutta toinen niistä on aina nolla. Koko vasen puoli on nimittäin kahden lausekkeen tulo: x ja sulkulauseke (ax + b). Milloin tämä tulo on nolla? Kun ainakin toinen näistä lausekkeista on nolla. Vasen puoli on siis nolla kahdessa tapauksessa:

$$x=0\text{tai}ax+b=0.$$

Yhtälön ensimmäinen ratkaisu on siis nolla. Toinen saadaan ratkaisemalla ensimmäisen asteen yhtälö ax + b = 0. Ensimmäisen asteen yhtälöistä kertovasta artikkelista tiedetään, että tällä yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu, joka on:

$$x=-\frac{b}{a}$$

Voidaan siis kirjoittaa koko toisen asteen yhtälön ax² + bx = 0 tulos:

$$x_1=0,x_2=-\frac{b}{a}.$$

Esimerkki:

$$6x^2+3x=0$$

Erotetaan yhteinen tekijä x:

$$x(6x+3)=0$$

Ensimmäinen ratkaisu on x = 0. Toinen ratkaisu löydetään ratkaisemalla ensimmäisen asteen yhtälö 6x + 3 = 0:

$$x=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}.$$

Kirjoitetaan tulos:

$$x_1=0,x_2=-\frac{1}{2}.$$

Voidaan jälleen katsoa funktion kuvaajaa, joka leikkaa x-akselin täsmälleen näissä pisteissä:

Muita ratkaisutapoja

Nämä olivat perusmenetelmät toisen asteen yhtälöiden erikoistyypeille. Yleinen toisen asteen yhtälö ratkaistaan diskriminantin avulla. Muihin yhtälötyyppeihin kuuluu toisen asteen yhtälö, jossa on parametri.

Laskin

Anna yleisen yhtälön ax² + bx + c = 0 kertoimet a, b ja c, niin laskin laskee sekä diskriminantin että juuret. Se löytyy myös erillisenä: toisen asteen yhtälön laskin.