Kannanvaihtomatriisi

Kun on vektoriavaruus V ja sen kaksi kantaa, avaruuden yksi vektori voidaan esittää kummankin kannan vektorien kombinaationa. Kannanvaihtomatriisi auttaa muuntamaan toisen esityksen toiseksi.

Taustaa

Olkoon annettuna n-ulotteinen vektoriavaruus V ja sen kaksi eri kantaa E = {e₁, …, e_n} ja F = {f₁, …, f_n}. Valitaan lisäksi jokin avaruuden V vektori x. Koska x on avaruudesta V ja koska sekä E että F ovat tämän avaruuden kantoja, täytyy päteä, että on olemassa kertoimet a₁, …, a_n, joille:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

ja samalla täytyy olla olemassa kertoimet b₁, …, b_n, joille:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

Ensimmäisessä tapauksessa vektori x esitetään kannan E avulla, toisessa kannan F avulla. Vektorin x esittämiseen käytetään kahta eri kantaa, joten saadaan samalla kaksi eri kerroinjoukkoa a_i ja b_i. Herää kysymys: jos tunnetaan kertoimet b_i, onko olemassa jokin tapa saada näistä kertoimista kertoimet a_i, eli esitys ensimmäisen kannan suhteen?

On, ja siihen käytetään ns. kannanvaihtomatriisia.

Miten kannanvaihtomatriisi saadaan

Pysytään siinä, että on avaruus V ja kaksi kantaa E = {e₁, …, e_n} ja F = {f₁, …, f_n}. Koska E on avaruuden V kanta, myös kaikki vektorit f₁, …, f_n voidaan varmasti esittää kannan E vektorien lineaarikombinaatioina. Vektorit f₁, …, f_n ovat kyllä kannan F osia, mutta samalla ne ovat tavallisia avaruuden V alkioita, joten täytyy päteä:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Nämä yhtälöt kirjoitetaan nyt matriisiin niin, että matriisin ensimmäisessä sarakkeessa ovat vektorin $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$ kertoimet, eli a_i1, toisessa sarakkeessa vektorin $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$ kertoimet, eli a_i2, jne. Saadaan matriisi:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Tällaista matriisia sanotaan kannanvaihtomatriisiksi kannasta E kantaan F. Jos on avaruuden V vektori x = (x₁, …, x_n), jonka kertoimet kannan F suhteen ovat b₁, …, b_n, kertoimet a₁, …, a_n kannan E suhteen saadaan kaavasta

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Esimerkki

Työskennellään vektoriavaruudessa ℝ³. Valitaan ensimmäiseksi kannaksi standardikanta E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ja toiseksi kannaksi F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)}. Kannanvaihtomatriisi kannasta E kantaan F on

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Valitaan nyt mielivaltainen vektori x ∈ ℝ³, esimerkiksi x = (12, 41, 28). Sen kertoimet kannan F suhteen ovat b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Lasketaan siis matriisitulo:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Kannan E suhteen vektorin x kertoimet ovat a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Siis pätee:

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$